І. І. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач, Математичний аналіз в прикладах і задачах

Зміст

1. Вступ до аналізу

1.1. Елементи теорії множин

1.1.1. Символи логіки

1.1.2. Операції над множинами

1.1.3. Булева алгебра

1.1.4. Принцип двоїстості

1.1.5. Алгебра множин

1.1.6. Приклади

1.1.7. Задачі для самостійної роботи

1.2. Функція. Відображення

1.2.1. Функція

1.2.2. Образ і прообраз множини при заданому відображенні

1.2.3. Композиція відображень. Обернене, параметричне та явне відображення

1.2.4. Приклади

1.2.5. Задачі для самостійної роботи

1.3. Дійсні числа

1.3.1. Бінарні відношення і бінарні операції

1.3.2. Аксіоми поля дійсних чисел

1.3.3. Розширена множина дійсних чисел

1.3.4. Основні характеристики дійсного числа

1.3.5. Метод математичної індукції

1.3.6. Приклади

1.3.7. Задачі для самостійної роботи

1.4. Комплексні числа

1.4.1. Комплексні числа та дії над ними

1.4.2. Геометрична інтерпретація комплексного числа

1.4.3. Приклади

1.4.4. Задачі для самостійної роботи

1.5. Векторні та метричні простори

1.5.1. Векторний простір

1.5.2. Нормовані векторні простори

1.5.3. Простір Евклейдеса

1.5.4. Метричний простір

1.5.5. Околи

1.5.6. Приклади

1.5.7. Задачі для самостійної роботи

1.6. Границя послідовності

1.6.1. Поняття послідовності

1.6.2. Збіжні послідовності та їх властивості

1.6.3. Ознаки існування границі

1.6.4. Число e

1.6.5. Границя в невласному розумінні

1.6.6. Часткові границі. Верхня та нижня границі

1.6.7. Збіжні послідовності в метричному просторі

1.6.8. Приклади

1.6.9. Задачі для самостійної роботи

1.7. Границя функції

1.7.1. Гранична точка множини. Границя функції у точці

1.7.2. Обмеженість функції

1.7.3. Символи Е. Ландау. Еквівалентні функції

1.7.4. Часткові границі

1.7.5. Границя функції комплексної змінної

1.7.6. Приклади

1.7.7. Задачі для самостійної роботи

1.8. Неперервність функції

1.8.1. Означення неперервності функції

1.8.2. Неперервність вектор-функцій та функціональних матриць

1.8.3. Точки розриву функції та їх класифікація. Особливі точки функції

1.8.4. Основні властивості неперервних функцій

1.8.5. Приклади

1.8.6. Задачі для самостійної роботи

1.9. Рівномірна неперервність функції

1.9.1. Означення рівномірної неперервності

1.9.2. Теорема Кантора

1.9.3. Приклади

1.9.4. Задачі для самостійної роботи

1.10. Відповіді

2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

2.1. Похідна явної функції

2.1.1. Основні означення

2.1.2. Правила обчислення похідних

2.1.3. Похідна складеної функції

2.1.4. Таблиця похідних

2.1.5. Похідна степенево-показникової функції

2.1.6. Похідна вектор-функції та матричної функції

2.1.7. Похідна комплексної функції скалярного аргументу

2.1.8. Приклади

2.1.9. Задачі для самостійної роботи

2.2. Диференціал функції

2.2.1. Основні означення

2.2.2. Критерій диференційовності функції

2.2.3. Інваріантність форми першого диференціала

2.2.4. Формула малих приростів

2.2.5. Правила диференціювання функцій

2.2.6. Приклади

2.2.7. Задачі для самостійної роботи

2.3. Похідна оберненої, параметричної та неявної функції

2.3.1. Похідна оберненої функції

2.3.2. Похідна параметрично заданої функції

2.3.3. Похідна неявно заданої функції

2.3.4. Приклади

2.3.5. Задачі для самостійної роботи

2.4. Похідні та диференціали вищих порядків

2.4.1. Основні означення

2.4.2. Похідні n-го порядку від основних елементарних функцій

2.4.3. Формула Ляйбніца

2.4.4. Похідні n-го порядку вектор-функції, комплекснозначної та матричної функцій

2.4.5. Приклади

2.4.6. Задачі для самостійної роботи

2.5. Теореми Ролля, Лаґранжа, Коші

2.5.1. Теорема Ролля

2.5.2. Теорема Лаґранжа

2.5.3. Теорема Коші

2.5.4. Приклади

2.5.5. Задачі для самостійної роботи

2.6. Зростання та спадання функції. Нерівності

2.6.1. Зростання та спадання функції

2.6.2. Критерій зростання (спадання) функції

2.6.3. Приклади

2.6.4. Задачі для самостійної роботи

2.7. Напрямок опуклості графіка функції. Точки перегину

2.7.1. Опуклість графіка функції

2.7.2. Точки перегину

2.7.3. Приклади

2.7.4. Задачі для самостійної роботи

2.8. Розкриття невизначеностей

2.8.1. Розкриття невизначеностей виду \(\frac {0}{0}\). Перше правило Лопіталя

2.8.2. Розкриття невизначеностей виду \(\frac {\infty }{\infty }\). Друге правило Лопіталя

2.8.3. Приклади

2.8.4. Задачі для самостійної роботи

2.9. Формула Тейлора

2.9.1. Формула Тейлора на проміжку

2.9.2. Локальна формула Тейлора (або формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано)

2.9.3. П'ять основних розкладів

2.9.4. Формула Тейлора для вектор-функції

2.9.5. Приклади

2.9.6. Задачі для самостійної роботи

2.10. Екстремум функції. Найбільше та найменше значення функції

2.10.1. Екстремум функції

2.10.2. Необхідна умова екстремуму

2.10.3. Достатні умови екстремуму

2.10.4. Абсолютний екстремум

2.10.5. Приклади

2.10.6. Задачі для самостійної роботи

2.11. Побудова графіків функцій за характерними точками

2.11.1. Схема побудови графіків функцій

2.11.2. Приклади

2.11.3. Задачі для самостійної роботи

2.12. Задачі на максимум та мінімум функції

2.12.1. Приклади

2.13. Відповіді

3. Невизначений інтеграл

3.1. Найпростіші невизначені інтеграли

3.1.1. Означення невизначеного інтеграла

3.1.2. Таблиця найпростіших інтегралів

3.1.3. Основні властивості невизначеного інтеграла

3.1.4. Основні методи інтегрування

3.1.5. Приклади

3.1.6. Задачі для самостійної роботи

3.2. Інтегрування раціональних функцій

3.2.1. Метод розкладання раціонального дробу

3.2.2. Приклади

3.2.3. Задачі для самостійної роботи

3.3. Інтегрування ірраціональних функцій

3.3.1. Приклади

3.3.2. Задачі для самостійної роботи

3.4. Інтегрування тригонометричних функцій

3.4.1. Приклади

3.4.2. Задачі для самостійної роботи

3.5. Інтегрування різних трансцендентних функцій

3.5.1. Приклади

3.5.2. Задачі для самостійної роботи

3.6. Різні приклади на інтегрування функцій

3.6.1. Приклади

3.6.2. Задачі для самостійної роботи

3.7. Інтегрування вектор-функцій та функціональних матриць

3.7.1. Інтегрування вектор-функцій та функціональних матриць

3.7.2. Приклади

3.7.3. Задачі для самостійної роботи

3.8. Відповіді

4. Визначений інтеграл

4.1. Інтеграл Рімана

4.1.1. Верхній і нижній інтеграли Рімана. Критерій інтегровності функції

4.1.2. Інтеграл Рімана як границя інтегральних сум

4.1.3. Деякі класи функцій, інтегровних за Ріманом

4.1.4. Міра Лебеґа і міра К. Жордана

4.1.5. Інтеграли функцій, заданих на довільних обмежених множинах. Множини, вимірні за К. Жорданом

4.1.6. Властивості інтеграла, виражені рівностями

4.1.7. Властивості інтеграла, виражені нерівностями

4.1.8. Формули заміни змінної та інтегрування частинами

4.1.9. Приклади

4.1.10. Задачі для самостійної роботи

4.2. Основні теореми та формули інтегрального числення

4.2.1. Визначений інтеграл як функція верхньої межі

4.2.2. Теореми про середнє значення

4.2.3. Приклади

4.2.4. Задачі для самостійної роботи

4.3. Інтегрування вектор-функцій, комплекснозначних функцій та функціональних матриць

4.3.1. Інтеграл Рімана вектор-функції

4.3.2. Інтеграл Рімана комплекснозначної функції

4.3.3. Інтеграл Рімана функціональної матриці

4.3.4. Приклади

4.3.5. Задачі для самостійної роботи

4.4. Невласні інтеграли

4.4.1. Невласні інтеграли першого і другого роду

4.4.2. Абсолютна збіжність

4.4.3. Алгебраїчні властивості невласних інтегралів

4.4.4. Заміна змінної у невласному інтегралі та формула інтегрування частинами

4.4.5. Випадок внутрішньої особливої точки

4.4.6. Ознаки порівняння Абеля та Діріхлє

4.4.7. Головне значення розбіжного невласного інтеграла

4.4.8. Приклади

4.4.9. Задачі для самостійної роботи

4.5. Функції обмеженої варіації

4.5.1. Варіація функції

4.5.2. Приклади

4.5.3. Задачі для самостійної роботи

4.6. Застосування визначеного інтеграла до розв'язання задач геометрії

4.6.1. Довжина дуги спрямленої кривої

4.6.2. Обчислення площ плоских фігур

4.6.3. Обчислення об'ємів тіл

4.6.4. Приклади

4.6.5. Задачі для самостійної роботи

4.7. Загальна схема застосування визначеного інтеграла. Задачі з механіки та фізики

4.7.1. Адитивна функція проміжку

4.7.2. Обчислення статичних моментів, моментів інерції, координат центра мас плоских кривих і фігур

4.7.3. Приклади

4.7.4. Задачі для самостійної роботи

4.8. Інтеграл Стілтьєса

4.8.1. Верхній і нижній інтеграли Стілтьєса. Критерій інтегровності

4.8.2. Інтеграл Стілтьєса як границя інтегральної суми

4.8.3. Основні властивості інтеграла Стілтьєса

4.8.4. Класи функцій, інтегровних за Стілтьєсом

4.8.5. Обчислення інтеграла Стілтьєса

4.8.6. Теорема про середнє значення й оцінка інтеграла Стілтьєса

4.8.7. Приклади

4.8.8. Задачі для самостійної роботи

4.9. Наближене обчислення визначених інтегралів

4.9.1. Формула прямокутників

4.9.2. Формула трапецій

4.9.3. Формула парабол (формула Сімпсона)

4.9.4. Приклади

4.9.5. Задачі для самостійної роботи

4.10. Відповіді

5. Ряди

5.1. Числові ряди. Ознаки збіжності знакосталих рядів

5.1.1. Загальні поняття і означення

5.1.2. Необхідна умова збіжності ряду

5.1.3. Критерій Коші

5.1.4. Узагальнений гармонічний ряд

5.1.5. Ознаки порівняння числових рядів

5.1.6. Ознака д'Аламбера

5.1.7. Ознака Коші

5.1.8. Ознака Раабе

5.1.9. Ознака Ґаусса

5.1.10. Інтегральна ознака Коші -- Маклаурена

5.1.11. Приклади

5.1.12. Задачі для самостійної роботи

5.2. Ознаки збіжності знакосталих рядів

5.2.1. Абсолютна і умовна збіжності ряду

5.2.2. Ознака Ляйбніца

5.2.3. Ознака Абеля

5.2.4. Ознака Діріхлє

5.2.5. Асоціативна властивість ряду

5.2.6. Приклади

5.2.7. Задачі для самостійної роботи

5.3. Дії над рядами

5.3.1. Додавання рядів

5.3.2. Множення рядів. Правило Коші

5.3.3. Приклади

5.3.4. Задачі для самостійної роботи

5.4. Функціональні послідовності та ряди. Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей і рядів

5.4.1. Поняття рівномірної збіжності послідовностей і рядів

5.4.2. Критерій Коші

5.4.3. Важливі достатні ознаки рівномірної збіжності рядів

5.4.4. Неперервність граничної функції та суми ряду

5.4.5. Почленний граничний перехід в рядах та функціональних послідовностях

5.4.6. Граничний перехід під знаком інтеграла і почленне інтегрування ряду

5.4.7. Граничний перехід під знаком похідної і почленне диференціювання ряду

5.4.8. Приклади

5.4.9. Задачі для самостійної роботи

5.5. Степеневі ряди

5.5.1. Круг і радіус збіжності степеневого ряду

5.5.2. Основні властивості степеневих рядів

5.5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора

5.5.4. Розкладання основних елементарних функцій

5.5.5. Операції над степеневими рядами

5.5.6. Приклади

5.5.7. Задачі для самостійної роботи

5.6. Ряди Фур'є

5.6.1. Основні означення

5.6.2. Теореми про розкладання в ряд Фур'є

5.6.3. Про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є

5.6.4. Розкладання в ряд Фур’є в інших ортогональних системах. Ортогональні многочлени

5.6.5. Приклади

5.6.6. Задачі для самостійної роботи

5.7. Підсумовування рядів. Обчислення визначених інтегралів за допомогою рядів

5.7.1. Безпосереднє підсумовування

5.7.2. Метод підсумовування рядів, оснований на теоремі Абеля

5.7.3. Підсумовування тригонометричних рядів

5.7.4. Приклади

5.7.5. Задачі для самостійної роботи

5.8. Відповіді

6. Диференціальне числення функцій векторного аргументу

6.1. Границя функції. Неперервність

6.1.1. Границя функції

6.1.2. Неперервність

6.1.3. Рівномірна неперервність

6.1.4. Приклади

6.1.5. Задачі для самостійної роботи

6.2. Частинні похідні та диференціали функції векторного аргументу

6.2.1. Частинні похідні

6.2.2. Диференційовні функції

6.2.3. Частинні похідні складеної функції

6.2.4. Диференційовні відображення

6.2.5. Частинні похідні та диференціали вищих порядків

6.2.6. Похідна за напрямом. Градієнт

6.2.7. Приклади

6.2.8. Задачі для самостійної роботи

6.3. Неявні функції

6.3.1. Принцип нерухомої точки

6.3.2. Означення неявної функції

6.3.3. Теореми про неявну функцію

6.3.4. Обернене відображення

6.3.5. Приклади

6.3.6. Задачі для самостійної роботи

6.4. Заміна змінних

6.5. Формула Тейлора

6.6. Екстремум функції векторного аргументу

6.7. Відповіді

7. Інтеграли, залежні від параметра

7.1. Власні інтеграли, залежні від параметра

7.2. Невласні інтеграли, залежні від параметра. Рівномірна збіжність інтегралів

7.3. Диференціювання та інтегрування невласних інтегралів під знаком інтеграла

7.4. Інтеграли Ойлера

7.5. Інтегральна формула Фур'є

7.6. Відповіді

8. Кратні та криволінійні інтеграли

8.1. Інтеграл Рімана на компакті. Зведення кратних інтегралів до повторних та їх обчислення

8.2. Невласні кратні інтеграли

8.3. Застосування кратних інтегралів до розв'язання задач геометрії та фізики

8.4. Інтегрування на многовидах

8.5. Формули Остроградського, Гріна і Стокса

8.6. Елементи векторного аналізу

8.7. Запис основних диференціальних операцій векторного аналізу в ортогональних криволінійних координатах

8.8. Відповіді

9. Основні структури математичного аналізу

9.1. Елементи теорії множин та відображень

9.1.1. Деякі символи логіки

9.1.2. Позначення, що використовуються в теорії множин

9.1.3. Натуральні числа. Метод математичної індукції

9.1.4. Найпростіші операції над множинами

9.1.5. Упорядкована пара і декартів добуток множин

9.1.6. Бінарні відношення. Проекції та перерізи бінарного відношення. Обернене бінарне відношення

9.1.7. Функціональне бінарне відношення. Функція та найпростіші поняття, пов'язані з нею

9.1.8. Обернена функція. Композиція відображень

9.1.9. Параметричне та неявне відображення

9.1.10. Ізоморфізм

9.2. Математичні структури

9.2.1. Група

9.2.2. Кільце

9.2.3. Тіло

9.2.4. Поле

9.2.5. Векторний простір над полем K. Нормований простір

9.3. Метричні простори

9.3.1. Аксіоми метрики. Границя послідовності точок метричного простору

9.3.2. Кулі, сфери, діаметр множини

9.3.3. Відкриті множини

9.3.4. Внутрішність множини

9.3.5. Замкнені множини, точки дотику, замикання множини

9.4. Компактні множини

9.5. Зв'язні простори та зв'язні множини

9.6. Границя і неперервність відображення з одного метричного простору в інший

9.6.1. Границя та неперервність відображення

9.6.2. Неперервність композиції відображень

9.6.3. Неперервність оберненого відображення

9.6.4. Границя і неперервність відображення у сенсі Коші. Деякі властивості неперервних відображень

9.6.5. Рівномірно неперервні відображення

9.6.6. Гомеоморфізми. Еквівалентні відстані

10. Комплексні числа та функції комплексної змінної

10.1. Комплексні числа та комплексна площина

10.1.1. Означення комплексного числа

10.1.2. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична та показникова форми його запису. Множення та ділення комплексних чисел. Операція добування кореня з комплексного числа

10.1.3. Стереографічна проекція та її властивості

10.1.4. Приклади

10.2. Топологія комплексної площини. Послідовності комплексних чисел. Властивості функцій, неперервних на компакті

10.2.1. Топологія комплексної площини

10.2.2. Замкнені множини, відрізок та ламана. Зв'язні множини

10.2.3. Послідовність комплексних чисел та її границя

10.2.4. Властивості компакта \(K\subset C\)

10.2.5. Границя та неперервність функції комплексної змінної

10.2.6. Арифметичні операції над границями та неперервними функціями

10.2.7. Границя та неперервність композиції функцій

10.2.8. Властивості функцій, неперервних на компакті

10.3. Неперервні та гладкі криві. Однозв'язні та багатозв'язні області

10.3.1. Приклади

10.4. Диференційовні функції комплексної змінної. Зв'язок між \(\mathbb {C}\)-диференційовністю та \(\mathbb {R}^2\)-диференційовністю. Аналітичні функції

10.4.1. Означення диференційовної функції. Правила диференціювання

10.4.2. Диференціал функції

10.4.3. Критерій диференційовності функції комплексної змінної

10.4.4. Аналітичні функції

10.4.5. Геометричний зміст похідної функції комплексної змінної. Поняття конформного відображення

10.4.6. Плоскі фізичні поля та їх зв'язок з аналітичними функціями

10.4.7. Нерівність Лаґранжа

10.4.8. Приклади

10.5. Задачі для самостійної роботи

10.6. Відповіді

11. Елементарні функції в комплексній площині

11.1. Дробно-лінійні функції та їх властивості

11.1.1. Означення дрібно-лінійної функції. Конформність відображення

11.1.2. Геометричні властивості дробово-лінійних відображень

11.1.3. Дробно-лінійні ізоморфізми та автоморфізми

11.1.4. Приклади

11.2. Степенева функція \(w=z^n\ (n\in \mathbb {N},\ n\geqslant2)\). Многозначна функція \(w=\sqrt [n]{z}\) і її поверхня Рімана

11.2.1. Степенева функція

11.2.2. Многозначна функція \(w=\sqrt [n]{z}\) та її поверхня Рімана

11.2.3. Приклади

11.3. Показникова функція \(w=e^z\) і многозначна функція \(z=\textrm{Ln}\,w\)

11.3.1. Показникова функція \(w=e^z\)

11.3.2. Многозначна функція \(z=\textrm{Ln}\,w\)

11.3.3. Приклади

11.4. Загальна степенева та загальна показникова функції

11.4.1. Загальна степенева функція

11.4.2. Загальна показникова функція

11.5. Функція Жуковського

11.5.1. Означення функції Жуковського. Конформність

11.5.2. Приклади

11.6. Тригонометричні та гіперболічні функції

11.6.1. Приклади

11.7. Задачі для самостійної роботи

11.8. Відповіді

12. Інтегрування в комплексній площині. Інтеграли Ньютена -- Ляйбніца та Коші

12.1. Інтеграл Ньютена -- Ляйбніца

12.1.1. Первісна

12.1.2. Інтеграл Ньютена -- Ляйбніца

12.1.3. Лінійність інтеграла. Заміна змінних та формула інтегрування частинами

12.2. Похідні та інтеграли Ньютена -- Ляйбніца будь-яких порядків

12.2.1. Означення n-похідної та n-інтеграла

12.2.2. Формула Ньютена -- Ляйбніца. Похідні по межам інтегрування

12.2.3. Формула Тейлора

12.3. Похідна Ферма -- Лаґранжа. Формула Тейлора -- Пеано

12.3.1. Похідна Ферма -- Лаґранжа

12.3.2. Теорема Тейлора -- Пеано та її обернення

12.4. Криволінійні інтеграли

12.4.1. Інтегрування функцій вздовж орієнтованої гладкої кривої

12.4.2. Гомотопія двох кривих (шляхів)

12.5. Теорема та інтеграл Коші

12.5.1. Існування локальної первісної аналітичної функції

12.5.2. Первісна вздовж кривої (вздовж шляху)

12.5.3. Теорема Коші

12.5.4. Інтегральна формула Коші

12.5.5. Приклади

12.6. Інтеграл типу Коші

12.6.1. Означення та основна властивість інтеграла типу Коші

12.6.2. Гармонічність дійсної та уявної частин аналітичної функції. Відновлення аналітичної функції за її дійсною (уявною) частиною

12.6.3. Теореми Ліувілля та Морери

12.6.4. Головне значення та граничні значення інтеграла типу Коші

12.6.5. Формули Х. Шварца та Пуассона

12.6.6. Приклади

12.7. Задачі для самостійної роботи

12.8. Відповіді

13. Ряди аналітичних функцій. Ізольовані особливі точки

13.1. Ряд Тейлора

13.1.1. Загальні відомості про ряди

13.1.2. Послідовність функцій та функціональний ряд. Точкова збіжність

13.1.3. Рівномірна норма функції. Рівномірна збіжність послідовності функцій та функціонального ряду

13.1.4. Нормальна збіжність функціонального ряду. Ознаки Ваярштрасса, Абеля та Діріхлє рівномірної збіжності функціональних рядів

13.1.5. Функціональні властивості рівномірної суми функціонального ряду

13.1.6. Степеневі ряди

13.1.7. Теорема Тейлора

13.1.8. Теорема єдиності

13.1.9. Приклади

13.2. Ряд Лорана та ізольовані особливі точки аналітичних функцій

13.2.1. Теорема Лорана

13.2.2. Класифікація ізольованих особливих точок в \(\mathbb {C}\)

13.2.3. Поведінка аналітичної функції при наближенні до ізольованої особливої ​​точки

13.2.4. Нескінченна ізольована особлива точка

13.2.5. Приклади

13.3. Задачі для самостійної роботи

13.4. Відповіді

14. Аналітичне продовження

14.1. Основні поняття. Аналітичне продовження вздовж шляху

14.1.1. Властивість єдиності аналітичної функції. Означення аналітичного продовження

14.1.2. Аналітичне продовження вздовж шляху

14.1.3. Інваріантність аналітичного продовження вздовж шляху щодо гомотопних деформацій цього шляху

14.2. Повні аналітичні функції

14.2.1. Поняття повної аналітичної функції

14.2.2. Приклади повних аналітичних функцій

14.2.3. Особливі точки повної аналітичної функції

14.2.4. Існування особливої ​​точки на межі круга збіжності степеневого ряду

14.3. Принципи аналітичного продовження

14.3.1. Приклади

14.4. Задачі для самостійної роботи

14.5. Відповіді

15. Лишки та їх застосування

15.1. Означення лишків. Основна теорема

15.1.1. Лишки відносно ізольованої скінченної точки

15.1.2. Лишки відносно нескінченності

15.1.3. Теорема про лишки

15.1.4. Приклади

15.2. Цілі та мероморфні функції

15.2.1. Цілі функції

15.2.2. Мероморфні функції. Теорема Міттаг-Леффлера

15.2.3. Розкладання мероморфних функцій на найпростіші дроби

15.2.4. Приклади

15.3. Нескінченні добутки

15.3.1. Числові нескінченні добутки

15.3.2. Рівномірно збіжні нескінченні добутки

15.3.3. Подання цілої функції у вигляді нескінченного добутку

15.3.4. Розкладання \(\sin z\) в нескінченний добуток

15.3.5. Рід і порядок цілої функції

15.3.6. Мероморфна функція як відношення двох цілих функцій

15.3.7. Приклади

15.4. Застосування лишків для обчислення інтегралів та сум рядів

15.4.1. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів

15.4.2. Застосування лишків до обчислення сум рядів

15.4.3. Приклади

15.5. Задачі для самостійної роботи

15.6. Відповіді

16. Деякі загальні питання геометричної теорії аналітичних функцій

16.1. Принцип аргументу. Теорема Руше

16.1.1. Обчислення інтеграла \(\frac {1}{2\pi i}\int \limits _{\partial D}\frac {\varphi (z)f'(z)}{f(z)-A}\,dz\)

16.1.2. Теорема про логарифмічний лишок

16.1.3. Принцип аргументу

16.1.4. Теорема Руше

16.1.5. Приклади

16.2. Збереження області та локальне обернення аналітичної функції

16.2.1. Принцип збереження області

16.2.2. Локальне обернення аналітичних функцій

16.2.3. Приклади

16.3. Екстремальні властивості модуля аналітичної функції

16.3.1. Принцип максимуму модуля аналітичної функції

16.3.2. Лема Х. Шварца

16.3.3. Приклади

16.4. Принцип компактності. Функціонали на сімействі аналітичних функцій

16.4.1. Рівномірно обмежені та рівностепенево неперервні сімейства функцій

16.4.2. Принцип компактності

16.4.3. Функціонали, визначені на множинах функцій

16.4.4. Теорема Хурвіца

16.5. Існування та єдиність конформного відображення

16.5.1. Конформні ізоморфізми та автоморфізми

16.5.2. Приклади автоморфізмів

16.5.3. Існування та єдиність ізоморфізмів областей, ізоморфних одиничному кругу

16.5.4. Теорема існування

16.6. Відповідність меж та принцип симетрії при конформному відображенні

16.6.1. Теорема про відповідність меж

16.6.2. Принцип симетрії

16.6.3. Приклади

16.7. Конформне відображення многокутників. Інтеграл Крістоффеля -- Х. Шварца

16.7.1. Відображення верхньої півплощини на многокутник

16.7.2. Випадок многокутника, що має вершини в нескінченності

16.7.3. Відображення верхньої півплощини на зовнішню частину многокутника

16.7.4. Відображення верхньої півплощини на прямокутник

16.7.5. Еліптичний синус та його двояка періодичність

16.7.6. Відображення одиничного круга на многокутник

16.7.7. Приклади

16.8. Задачі для самостійної роботи

16.9. Відповіді

17. Основні поняття. Складання диференціальних рівнянь

17.1. Основні означення

17.1.1. Задача Коші

17.1.2. Побудова диференціального рівняння за заданим сімейством кривих

17.1.3. Приклади

17.2. Задачі для самостійної роботи

17.3. Відповіді

18. Диференціальні рівняння першого порядку

18.1. Рівняння з відокремлюваними змінними

18.1.1. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними

18.1.2. Відокремлювання змінних лінійною заміною аргументу

18.1.3. Приклади

18.2. Геометричні та фізичні задачі, що зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними

18.2.1. Використання геометричного змісту похідної

18.2.2. Використання фізичного змісту похідної

18.2.3. Приклади

18.3. Однорідні рівняння та рівняння, що зводяться до них

18.3.1. Однорідне рівняння

18.3.2. Рівняння, що зводиться до однорідного

18.3.3. Узагальнено-однорідне рівняння

18.3.4. Приклади

18.4. Лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них

18.4.1. Лінійне рівняння першого порядку

18.4.2. Обмін ролями між функцією та аргументом

18.4.3. Рівняння, що зводяться до лінійних

18.4.4. Рівняння Міндінга -- Дарбу

18.4.5. Приклади

18.5. Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник

18.5.1. Рівняння у повних диференціалах

18.5.2. Інтегруючий множник

18.5.3. Диференціальне рівняння для інтегруючого множника

18.5.4. Приклади

18.6. Рівняння Ойлера -- Ріккаті

18.6.1. Рівняння Ойлера -- Ріккаті. Спеціальне рівняння Ріккаті

18.6.2. Канонічне рівняння Ойлера -- Ріккаті

18.6.3. Приклади

18.7. Рівняння, не розв'язанні відносно похідної

18.7.1. Рівняння, не розв'язанні відносно похідної

18.7.2. Загальний інтеграл рівняння \(F(y')=0\)

18.7.3. Подання розв'язку в параметричній формі. Розв'язання неповних рівнянь

18.7.4. Приклади

18.8. Існування та єдиність розв'язку

18.8.1. Теореми Пікара, Пеано та Осгуда

18.8.2. Існування та єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння, не розв'язаного відносно похідної

18.8.3. Продовження розв'язку задачі Коші

18.8.4. Існування та єдиність розв'язку векторної задачі Коші

18.8.5. Приклади

18.9. Особливі розв'язки

18.9.1. Особливий розв'язок. Дискримінантна крива

18.9.2. Огинаюча як особливий розв'язок

18.9.3. Приклади

18.10. Задачі на траєкторії

18.10.1. Ізогональні та ортогональні траєкторії

18.10.2. Еволюта та евольвента

18.10.3. Приклади

18.11. Задачі для самостійної роботи

18.12. Відповіді

19. Диференціальні рівняння вищих порядків

19.1. Види інтегровних нелінійних рівнянь

19.1.1. Диференціальне рівняння виду \(F(x,y^{(n)})=0\)

19.1.2. Диференціальне рівняння виду \(F(y^{(n-1)},y^{(n)})=0\)

19.1.3. Диференціальне рівняння виду \(F(y^{(n-2)},y^{(n)})=0\)

19.1.4. Приклади

19.2. Рівняння, що допускають зниження порядку

19.2.1. Диференціальне рівняння виду \(F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},\ldots ,y^{(n)})=0\)

19.2.2. Диференціальне рівняння виду \(F(y,y',\ldots ,y^{(n)})=0\)

19.2.3. Однорідне диференціальне рівняння виду \(F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0\)

19.2.4. Узагальнене однорідне диференціальне рівняння виду \(F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0\)

19.2.5. Рівняння, яке зводиться до виду \(\varphi '(x,y',\ldots ,y^{(n-1)})=0\)

19.2.6. Приклади

19.3. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами

19.3.1. Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальне розв'язання

19.3.2. Пошук часткового розв'язку лінійного рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами методом невизначених коефіцієнтів

19.3.3. Метод варіації довільних постійних

19.3.4. Метод Коші знаходження часткового розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами

19.3.5. Приклади

19.4. Лінійні диференціальні рівняння зі змінними коефіцієнтами

19.4.1. Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку зі змінними коефіцієнтами. Лінійно залежні функції. Визначник Вронського

19.4.2. Критерій лінійної незалежності функцій

19.4.3. Фундаментальна система розв'язків

19.4.4. Формула Остроградського -- Ліувілля

19.4.5. Загальний розв'язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами

19.4.6. Рівняння Ойлера. Рівняння Чебишова

19.4.7. Диференціальні рівняння другого порядку

19.4.8. Зв'язок між лінійним диференціальним рівнянням другого порядку та рівнянням Ойлера -- Ріккаті

19.4.9. Зведення лінійного диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами до рівняння з постійними коефіцієнтами

19.4.10. Про асимптотичну поведінку розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку

19.4.11. Приклади

19.5. Крайові задачі

19.5.1. Означення крайової задачі

19.5.2. Функція Гріна крайової задачі

19.5.3. Задача Штурма -- Ліувілля

19.5.4. Умова еквівалентності крайової задачі та інтегрального рівняння

19.5.5. Приклади

19.6. Задачі для самостійної роботи

19.7. Відповіді

20. Системи диференціальних рівнянь

20.1. Лінійні системи

20.1.1. Неоднорідна система лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Фундаментальна матриця рівняння. Визначник Вронського

20.1.2. Метод варіації довільного вектора

20.1.3. Матрицант

20.1.4. Неоднорідні лінійні системи з постійними коефіцієнтами. Метод Ойлера

20.1.5. Приклади

20.2. Нелінійні системи

20.2.1. Нормальні системи диференціальних рівнянь. Метод виключення

20.2.2. Підбір інтегровних комбінацій

20.2.3. Приклади

20.3. Задачі для самостійної роботи

20.4. Відповіді

21. Рівняння з частинними похідними першого порядку

21.1. Лінійні та квазілінійні рівняння

21.1.1. Основні поняття

21.1.2. Розв'язання квазілінійного рівняння з частинними похідними першого порядку

21.1.3. Задача Коші

21.1.4. Рівняння Пфаффа

21.1.5. Приклади

21.2. Нелінійні рівняння першого порядку

21.2.1. Нелінійні рівняння з частинними похідними першого порядку

21.2.2. Розв'язання задачі про знаходження інтегральної поверхні, що проходить через задану криву

21.2.3. Метод Коші

21.2.4. Узагальнення методу Коші

21.2.5. Приклади

21.3. Задачі для самостійної роботи

21.4. Відповіді

22. Наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь

22.1. Залежність розв'язку від початкових умов та параметрів

22.1.1. Про оцінку похибки наближеного розв'язання

22.1.2. Про відшукання похідних від розв'язків за параметром

22.1.3. Приклади

22.2. Аналітичні наближені методи

22.2.1. Метод степеневих рядів

22.2.2. Метод малого параметра

22.2.3. Приклади

22.3. Чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь

22.3.1. Метод Ойлера k-го порядку

22.3.2. Метод Рунге -- Кутти k-го порядку

22.3.3. Метод Штермера

22.3.4. Приклади

22.4. Задачі для самостійної роботи

22.5. Відповіді

23. Стійкість та фазові траєкторії

23.1. Стійкість

23.1.1. Стійкість за Ляпунову. Асимптотична стійкість

23.1.2. Дослідження на стійкість за першим наближенням: перша теорема Ляпунова

23.1.3. Дослідження на стійкість за допомогою функцій Ляпунова: друга теорема Ляпунова

23.1.4. Умови від'ємності всіх дійсних частин коренів рівняння \(a_0\lambda ^n+a_1\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{n-1}\lambda +a_n=0,\ a_0>0\), з дійсними коефіцієнтами

23.1.5. Приклади

23.2. Особливі точки

23.2.1. Означення особливих точок та їх класифікація

23.2.2. Практичні способи дослідження особливих точок

23.2.3. Приклади

23.3. Фазова площина

23.3.1. Основні поняття

23.3.2. Побудова фазового портрета

23.3.3. Граничні цикли

23.3.4. Ознаки відсутності граничних циклів

23.3.5. Ознаки наявності граничних циклів

23.3.6. Приклади

23.4. Задачі для самостійної роботи

23.5. Відповіді

24. Метод інтегральних перетворень Ляпляса розв'язання лінійних диференціальних рівнянь

24.1. Перетворення Ляпляса. Основні поняття та властивості

24.1.1. Оригінал і зображення

24.1.2. Властивості перетворення Ляпляса

24.1.3. Приклади

24.2. Згортка функцій. Теореми розкладання

24.2.1. Означення згортки

24.2.2. Теорема множення (Бореля)

24.2.3. Узагальнена теорема множення (Ефроса)

24.2.4. Формули Дюамеля

24.2.5. Приклади

24.3. Обернене перетворення Ляпляса

24.3.1. Формула обернення Рімана -- Мелліна

24.3.2. Відомості з теорії функцій комплексної змінної

24.3.3. Теореми розкладання

24.3.4. Приклади

24.4. Лінійні диференціальні рівняння та системи

24.4.1. Інтегрування рівнянь з постійними коефіцієнтами

24.4.2. Розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами

24.4.3. Розв'язання рівнянь з нульовими початковими умовами за допомогою інтеграла Дюамеля

24.4.4. Приклади

24.5. Інтегральні рівняння типу згортки. Особливі рівняння

24.5.1. Інтегральні рівняння типу згортки

24.5.2. Інтегральні рівняння другого роду

24.5.3. Інтегральні рівняння першого роду

24.5.4. Особливі інтегральні рівняння. Інтегральне рівняння Абеля

24.5.5. Приклади

24.6. Застосування операційного числення до розв'язання рівнянь з частинними похідними

24.6.1. Приклади

24.7. Задачі для самостійної роботи

24.8. Відповіді

25. Література

25.1. Монографії, огляди, підручники

26. Видатні вчені

26.1. Видатні вчені

27. Підтримка

27.1. Потрібна