І. І. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач, Математичний аналіз в прикладах і задачах
Зміст
1. Вступ до аналізу
1.1. Елементи теорії множин
1.1.1. Символи логіки
1.1.2. Операції над множинами
1.1.3. Булева алгебра
1.1.4. Принцип двоїстості
1.1.5. Алгебра множин
1.1.6. Приклади
1.1.7. Задачі для самостійної роботи
1.2. Функція. Відображення
1.2.1. Функція
1.2.2. Образ і прообраз множини при заданому відображенні
1.2.3. Композиція відображень. Обернене, параметричне та явне відображення
1.2.4. Приклади
1.2.5. Задачі для самостійної роботи
1.3. Дійсні числа
1.3.1. Бінарні відношення і бінарні операції
1.3.2. Аксіоми поля дійсних чисел
1.3.3. Розширена множина дійсних чисел
1.3.4. Основні характеристики дійсного числа
1.3.5. Метод математичної індукції
1.3.6. Приклади
1.3.7. Задачі для самостійної роботи
1.4. Комплексні числа
1.5. Векторні і метричні простори
1.6. Границя послідовності
1.7. Границя функції
1.7.6. Приклади
1.7.7. Задачі для самостійної роботи
1.8. Неперервність функції
1.8.1. Означення неперервності функції
1.9. Рівномірна неперервність функції
1.9.1. Означення рівномірної неперервності
1.9.2. Теорема Кантора
1.9.3. Приклади
1.10. Відповіді
2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
2.1. Похідна явної функції
2.1.1. Основні означення
2.2. Диференціал функції
2.3. Похідна оберненої, параметричної та неявної функції
2.4. Похідні та диференціали вищих порядків
2.5. Теореми Ролля, Лаґранжа, Коші
2.6. Зростання та спадання функції. Нерівності
2.7. Напрямок опуклості графіка функції. Точки перегину
2.8. Розкриття невизначеностей
2.9. Формула Тейлора
2.10. Екстремум функції. Найбільше та найменше значення функції
2.11. Побудова графіків функцій за характерними точками
2.12. Задачі на максимум та мінімум функції
2.13. Відповіді
3. Невизначений інтеграл
3.1. Найпростіші невизначені інтеграли
3.2. Інтегрування раціональних функцій
3.3. Інтегрування ірраціональних функцій
3.4. Інтегрування тригонометричних функцій
3.5. Інтегрування різних трансцендентних функцій
3.6. Різні приклади на інтегрування функцій
3.7. Інтегрування вектор-функцій та функціональних матриць
3.8. Відповіді
4. Визначений інтеграл
4.1. Інтеграл Рімана
4.2. Основні теореми та формули інтегрального числення
4.3. Інтегрування вектор-функцій, комплекснозначних функцій та функціональних матриць
4.4. Невласні інтеграли
4.5. Функції обмеженої варіації
4.6. Застосування визначеного інтеграла до розв'язання задач геометрії
4.7. Загальна схема застосування визначеного інтеграла. Задачі з механіки та фізики
4.8. Інтеграл Стілтьєса
4.9. Наближене обчислення визначених інтегралів
4.10. Відповіді
5. Ряди
5.1. Числові ряди. Ознаки збіжності знакосталих рядів
5.2. Ознаки збіжності знакосталих рядів
5.3. Дії над рядами
5.4. Функціональні послідовності та ряди. Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей і рядів
5.5. Степеневі ряди
5.6. Ряди Фур'є
5.7. Підсумування рядів. Обчислення визначених інтегралів за допомогою рядів
5.8. Відповіді
6. Диференціальне числення функцій векторного аргументу
6.1. Границя функції. Неперервність
6.2. Частинні похідні та диференціали функції векторного аргументу
6.3. Неявні функції
6.4. Заміна змінних
6.5. Формула Тейлора
6.6. Екстремум функції векторного аргументу
6.7. Відповіді
7. Інтеграли, залежні від параметра
7.1. Власні інтеграли, залежні від параметра
7.2. Невласні інтеграли, залежні від параметра. Рівномірна збіжність інтегралів
7.3. Диференціювання та інтегрування невласних інтегралів під знаком інтеграла
7.4. Інтеграли Ойлера
7.5. Інтегральна формула Фур'є
7.6. Відповіді
8. Кратні і криволінійні інтеграли
8.1. Інтеграл Рімана на компакті. Зведення кратних інтегралів до повторних та їх обчислення
8.2. Невласні кратні інтеграли
8.3. Застосування кратних інтегралів до розв'язання задач геометрії та фізики
8.4. Інтегрування на многовидах
8.5. Формули Остроградського, Гріна і Стокса
8.6. Елементи векторного аналізу
8.7. Запис основних диференціальних операцій векторного аналізу в ортогональних криволінійних координатах
8.8. Відповіді
9. Основні структури математичного аналізу
9.1. Елементи теорії множин та відображень
9.1.1. Деякі символи логіки
9.1.2. Позначення, що використовуються в теорії множин
9.1.3. Натуральні числа. Метод математичної індукції
9.1.4. Найпростіші операції над множинами
9.1.5. Упорядкована пара і декартів добуток множин
9.1.6. Бінарні відношення. Проекції та перерізи бінарного відношення. Обернене бінарне відношення
9.1.7. Функціональне бінарне відношення. Функція та найпростіші поняття, пов'язані з нею
9.1.8. Обернена функція. Композиція відображень
9.1.9. Параметричне та неявне відображення
9.1.10. Ізоморфізм
9.2. Математичні структури
9.2.1. Група
9.2.2. Кільце
9.2.3. Тіло
9.2.4. Поле
9.2.5. Векторний простір над полем K. Нормований простір
9.3. Метричні простори
9.3.1. Аксіоми метрики. Границя послідовності точок метричного простору
9.3.2. Кулі, сфери, діаметр множини
9.3.3. Відкриті множини
9.3.4. Внутрішність множини
9.3.5. Замкнені множини, точки дотику, замикання множини
9.4. Компактні множини
9.5. Зв'язні простори та зв'язні множини
9.6. Границя і неперервність відображення з одного метричного простору в інший
9.6.1. Границя та неперервність відображення
9.6.2. Неперервність композиції відображень
9.6.3. Неперервність оберненого відображення
9.6.4. Границя і неперервність відображення у сенсі Коші. Деякі властивості неперервних відображень
9.6.5. Рівномірно неперервні відображення
9.6.6. Гомеоморфізми. Еквівалентні відстані
10. Комплексні числа та функції комплексної змінної
10.1. Комплексні числа та комплексна площина
10.1.1. Означення комплексного числа
10.1.2. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична та показникова форми його запису. Множення та ділення комплексних чисел. Операція добування кореня з комплексного числа
10.1.3. Стереографічна проекція та її властивості
10.1.4. Приклади
10.2. Топологія комплексної площини. Послідовності комплексних чисел. Властивості функцій, неперервних на компакті
10.2.1. Топологія комплексної площини
10.2.2. Замкнені множини, відрізок та ламана. Зв'язні множини
10.2.3. Послідовність комплексних чисел та її границя
10.2.4. Властивості компакта \(K\subset C\)
10.2.5. Границя та неперервність функції комплексної змінної
10.2.6. Арифметичні операції над границями та неперервними функціями
10.2.7. Границя та неперервність композиції функцій
10.2.8. Властивості функцій, неперервних на компакті
10.3. Неперервні та гладкі криві. Однозв'язні та багатозв'язні області
10.3.1. Приклади
10.4. Диференційовні функції комплексної змінної. Зв'язок між \(\mathbb {C}\)-диференційовністю та \(\mathbb {R}^2\)-диференційовністю. Аналітичні функції
10.4.1. Означення диференційовної функції. Правила диференціювання
10.4.2. Диференціал функції
10.4.3. Критерій диференційовності функції комплексної змінної
10.4.4. Аналітичні функції
10.4.5. Геометричний зміст похідної функції комплексної змінної. Поняття конформного відображення
10.4.6. Плоскі фізичні поля та їх зв'язок з аналітичними функціями
10.4.7. Нерівність Лаґранжа
10.4.8. Приклади
10.5. Задачі для самостійної роботи
10.6. Відповіді
11. Елементарні функції в комплексній площині
11.1. Дробно-лінійні функції та їх властивості
11.1.1. Означення дрібно-лінійної функції. Конформність відображення
11.1.2. Геометричні властивості дробово-лінійних відображень
11.1.3. Дробно-лінійні ізоморфізми та автоморфізми
11.1.4. Приклади
11.2. Степенева функція \(w=z^n\ (n\in \mathbb {N},\ n\ge 2)\). Многозначна функція \(w=\sqrt [n]{z}\) і її поверхня Рімана
11.2.1. Степенева функція
11.2.2. Многозначна функція \(w=\sqrt [n]{z}\) та її поверхня Рімана
11.2.3. Приклади
11.3. Показникова функція \(w=e^z\) і многозначна функція \(z=Ln w\)
11.3.1. Показникова функція \(w=e^z\)
11.3.2. Многозначна функція \(z=Ln w\)
11.3.3. Приклади
11.4. Загальна степенева та загальна показникова функції
11.4.1. Загальна степенева функція
11.4.2. Загальна показникова функція
11.5. Функція Жуковського
11.5.1. Означення функції Жуковського. Конформність
11.5.2. Приклади
11.6. Тригонометричні та гіперболічні функції
11.6.1. Приклади
11.7. Задачі для самостійної роботи
11.8. Відповіді
12. Інтегрування в комплексній площині. Інтеграли Ньютена -- Ляйбніца та Коші
12.1. Інтеграл Ньютена -- Ляйбніца
12.1.1. Первісна
12.1.2. Інтеграл Ньютена -- Ляйбніца
12.1.3. Лінійність інтеграла. Заміна змінних та формула інтегрування частинами
12.2. Похідні та інтеграли Ньютена -- Ляйбніца будь-яких порядків
12.2.1. Означення n-похідної та n-інтеграла
12.2.2. Формула Ньютена -- Ляйбніца. Похідні по межам інтегрування
12.2.3. Формула Тейлора
12.3. Похідна Ферма -- Лаґранжа. Формула Тейлора -- Пеано
12.3.1. Похідна Ферма -- Лаґранжа
12.3.2. Теорема Тейлора -- Пеано та її обернення
12.4. Криволінійні інтеграли
12.4.1. Інтегрування функцій вздовж орієнтованої гладкої кривої
12.4.2. Гомотопія двох кривих (шляхів)
12.5. Теорема та інтеграл Коші
12.5.1. Існування локальної первісної аналітичної функції
12.5.2. Первісна вздовж кривої (вздовж шляху)
12.5.3. Теорема Коші
12.5.4. Інтегральна формула Коші
12.5.5. Приклади
12.6. Інтеграл типу Коші
12.6.1. Означення та основна властивість інтеграла типу Коші
12.6.2. Гармонічність дійсної та уявної частин аналітичної функції. Відновлення аналітичної функції за її дійсною (уявною) частиною
12.6.3. Теореми Ліувілля та Морери
12.6.4. Головне значення та граничні значення інтеграла типу Коші
12.6.5. Формули Х. Шварца та Пуассона
12.6.6. Приклади
12.7. Задачі для самостійної роботи
12.8. Відповіді
13. Ряди аналітичних функцій. Ізольовані особливі точки
13.1. Ряд Тейлора
13.1.1. Загальні відомості про ряди
13.1.2. Послідовність функцій та функціональний ряд. Точкова збіжність
13.1.3. Рівномірна норма функції. Рівномірна збіжність послідовності функцій та функціонального ряду
13.1.4. Нормальна збіжність функціонального ряду. Ознаки Ваярштрасса, Абеля та Діріхлє рівномірної збіжності функціональних рядів
13.1.5. Функціональні властивості рівномірної суми функціонального ряду
13.1.6. Степеневі ряди
13.1.7. Теорема Тейлора
13.1.8. Теорема єдиності
13.1.9. Приклади
13.2. Ряд Лорана та ізольовані особливі точки аналітичних функцій
13.2.1. Теорема Лорана
13.2.2. Класифікація ізольованих особливих точок в \(\mathbb {C}\)
13.2.3. Поведінка аналітичної функції при наближенні до ізольованої особливої точки
13.2.4. Нескінченна ізольована особлива точка
13.2.5. Приклади
13.3. Задачі для самостійної роботи
13.4. Відповіді
14. Аналітичне продовження
14.1. Основні поняття. Аналітичне продовження вздовж шляху
14.1.1. Властивість єдиності аналітичної функції. Означення аналітичного продовження
14.1.2. Аналітичне продовження вздовж шляху
14.1.3. Інваріантність аналітичного продовження вздовж шляху щодо гомотопних деформацій цього шляху
14.2. Повні аналітичні функції
14.2.1. Поняття повної аналітичної функції
14.2.2. Приклади повних аналітичних функцій
14.2.3. Особливі точки повної аналітичної функції
14.2.4. Існування особливої точки на межі круга збіжності степеневого ряду
14.3. Принципи аналітичного продовження
14.3.1. Приклади
14.4. Задачі для самостійної роботи
14.5. Відповіді
15. Лишки та їх застосування
15.1. Означення лишків. Основна теорема
15.1.1. Лишки відносно ізольованої скінченної точки
15.1.2. Лишки відносно нескінченності
15.1.3. Теорема про лишки
15.1.4. Приклади
15.2. Цілі та мероморфні функції
15.2.1. Цілі функції
15.2.2. Мероморфні функції. Теорема Міттаг-Леффлера
15.2.3. Розкладання мероморфних функцій на найпростіші дроби
15.2.4. Приклади
15.3. Нескінченні добутки
15.3.1. Числові нескінченні добутки
15.3.2. Рівномірно збіжні нескінченні добутки
15.3.3. Подання цілої функції у вигляді нескінченного добутку
15.3.4. Розкладання \(\sin z\) в нескінченний добуток
15.3.5. Рід і порядок цілої функції
15.3.6. Мероморфна функція як відношення двох цілих функцій
15.3.7. Приклади
15.4. Застосування лишків для обчислення інтегралів та сум рядів
15.4.1. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
15.4.2. Застосування лишків до обчислення сум рядів
15.4.3. Приклади
15.5. Задачі для самостійної роботи
15.6. Відповіді
16. Деякі загальні питання геометричної теорії аналітичних функцій
16.1. Принцип аргументу. Теорема Руше
16.1.1. Обчислення інтеграла \(\frac {1}{2\pi i}\int \limits _{\partial D}\frac {\varphi (z)f'(z)}{f(z)-A}\,dz\)
16.1.2. Теорема про логарифмічний лишок
16.1.3. Принцип аргументу
16.1.4. Теорема Руше
16.1.5. Приклади
16.2. Збереження області та локальне обернення аналітичної функції
16.2.1. Принцип збереження області
16.2.2. Локальне обернення аналітичних функцій
16.2.3. Приклади
16.3. Екстремальні властивості модуля аналітичної функції
16.3.1. Принцип максимуму модуля аналітичної функції
16.3.2. Лема Х. Шварца
16.3.3. Приклади
16.4. Принцип компактності. Функціонали на сімействі аналітичних функцій
16.4.1. Рівномірно обмежені та рівностепенево неперервні сімейства функцій
16.4.2. Принцип компактності
16.4.3. Функціонали, визначені на множинах функцій
16.4.4. Теорема Хурвіца
16.5. Існування та єдиність конформного відображення
16.5.1. Конформні ізоморфізми та автоморфізми
16.5.2. Приклади автоморфізмів
16.5.3. Існування та єдиність ізоморфізмів областей, ізоморфних одиничному кругу
16.5.4. Теорема існування
16.6. Відповідність меж та принцип симетрії при конформному відображенні
16.6.1. Теорема про відповідність меж
16.6.2. Принцип симетрії
16.6.3. Приклади
16.7. Конформне відображення многокутників. Інтеграл Крістоффеля -- Х. Шварца
16.7.1. Відображення верхньої півплощини на многокутник
16.7.2. Випадок многокутника, що має вершини в нескінченності
16.7.3. Відображення верхньої півплощини на зовнішню частину многокутника
16.7.4. Відображення верхньої півплощини на прямокутник
16.7.5. Еліптичний синус та його двояка періодичність
16.7.6. Відображення одиничного круга на многокутник
16.7.7. Приклади
16.8. Задачі для самостійної роботи
16.9. Відповіді
17. Основні поняття. Складання диференціальних рівнянь
17.1. Основні означення
17.1.1. Задача Коші
17.1.2. Побудова диференціального рівняння за заданим сімейством кривих
17.1.3. Приклади
17.2. Задачі для самостійної роботи
17.3. Відповіді
18. Диференціальні рівняння першого порядку
18.1. Рівняння з відокремлюваними змінними
18.1.1. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними
18.1.2. Відокремлювання змінних лінійною заміною аргументу
18.1.3. Приклади
18.2. Геометричні та фізичні задачі, що приводять до рівнянь з відокремлюваними змінними
18.2.1. Використання геометричного змісту похідної
18.2.2. Використання фізичного змісту похідної
18.2.3. Приклади
18.3. Однорідні рівняння та рівняння, що зводяться до них
18.3.1. Однорідне рівняння
18.3.2. Рівняння, що зводиться до однорідного
18.3.3. Узагальнено-однорідне рівняння
18.3.4. Приклади
18.4. Лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них
18.4.1. Лінійне рівняння першого порядку
18.4.2. Обмін ролями між функцією та аргументом
18.4.3. Рівняння, що зводяться до лінійних
18.4.4. Рівняння Міндінга -- Дарбу
18.4.5. Приклади
18.5. Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник
18.5.1. Рівняння у повних диференціалах
18.5.2. Інтегруючий множник
18.5.3. Диференціальне рівняння для інтегруючого множника
18.5.4. Приклади
18.6. Рівняння Ойлера -- Ріккаті
18.6.1. Рівняння Ойлера -- Ріккаті. Спеціальне рівняння Ріккаті
18.6.2. Канонічне рівняння Ойлера -- Ріккаті
18.6.3. Приклади
18.7. Рівняння, не розв'язанні відносно похідної
18.7.1. Рівняння, не розв'язанні відносно похідної
18.7.2. Загальний інтеграл рівняння \(F(y')=0\)
18.7.3. Подання розв'язку в параметричній формі. Розв'язання неповних рівнянь
18.7.4. Приклади
18.8. Існування та єдиність розв'язку
18.8.1. Теореми Пікара, Пеано та Осгуда
18.8.2. Існування та єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння, не розв'язаного відносно похідної
18.8.3. Продовження розв'язку задачі Коші
18.8.4. Існування та єдиність розв'язку векторної задачі Коші
18.8.5. Приклади
18.9. Особливі розв'язки
18.9.1. Особливий розв'язок. Дискримінантна крива
18.9.2. Огинаюча як особливий розв'язок
18.9.3. Приклади
18.10. Задачі на траєкторії
18.10.1. Ізогональні та ортогональні траєкторії
18.10.2. Еволюта та евольвента
18.10.3. Приклади
18.11. Задачі для самостійної роботи
18.12. Відповіді
19. Диференціальні рівняння вищих порядків
19.1. Види інтегровних нелінійних рівнянь
19.1.1. Диференціальне рівняння виду \(F(x,y^{(n)})=0\)
19.1.2. Диференціальне рівняння виду \(F(y^{(n-1)},y^{(n)})=0\)
19.1.3. Диференціальне рівняння виду \(F(y^{(n-2)},y^{(n)})=0\)
19.1.4. Приклади
19.2. Рівняння, що допускають зниження порядку
19.2.1. Диференціальне рівняння виду \(F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},\ldots ,y^{(n)})=0\)
19.2.2. Диференціальне рівняння виду \(F(y,y',\ldots ,y^{(n)})=0\)
19.2.3. Однорідне диференціальне рівняння виду \(F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0\)
19.2.4. Узагальнене однорідне диференціальне рівняння виду \(F(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})=0\)
19.2.5. Рівняння, яке зводиться до виду \(\varphi '(x,y',\ldots ,y^{(n-1)})=0\)
19.2.6. Приклади
19.3. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами
19.3.1. Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальне розв'язання
19.3.2. Пошук часткового розв'язку лінійного рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами методом невизначених коефіцієнтів
19.3.3. Метод варіації довільних постійних
19.3.4. Метод Коші знаходження часткового розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
19.3.5. Приклади
19.4. Лінійні диференціальні рівняння зі змінними коефіцієнтами
19.4.1. Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку зі змінними коефіцієнтами. Лінійно залежні функції. Визначник Вронського
19.4.2. Критерій лінійної незалежності функцій
19.4.3. Фундаментальна система розв'язків
19.4.4. Формула Остроградського -- Ліувілля
19.4.5. Загальний розв'язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами
19.4.6. Рівняння Ойлера. Рівняння Чебишова
19.4.7. Диференціальні рівняння другого порядку
19.4.8. Зв'язок між лінійним диференціальним рівнянням другого порядку та рівнянням Ойлера -- Ріккаті
19.4.9. Зведення лінійного диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами до рівняння з постійними коефіцієнтами
19.4.10. Про асимптотичну поведінку розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку
19.4.11. Приклади
19.5. Крайові задачі
19.5.1. Означення крайової задачі
19.5.2. Функція Гріна крайової задачі
19.5.3. Задача Штурма -- Ліувілля
19.5.4. Умова еквівалентності крайової задачі та інтегрального рівняння
19.5.5. Приклади
19.6. Задачі для самостійної роботи
19.7. Відповіді
20. Системи диференціальних рівнянь
20.1. Лінійні системи
20.1.1. Неоднорідна система лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Фундаментальна матриця рівняння. Визначник Вронського
20.1.2. Метод варіації довільного вектора
20.1.3. Матрицант
20.1.4. Неоднорідні лінійні системи з постійними коефіцієнтами. Метод Ойлера
20.1.5. Приклади
20.2. Нелінійні системи
20.2.1. Нормальні системи диференціальних рівнянь. Метод виключення
20.2.2. Підбір інтегровних комбінацій
20.2.3. Приклади
20.3. Задачі для самостійної роботи
20.4. Відповіді
21. Рівняння з частинними похідними першого порядку
21.1. Лінійні та квазілінійні рівняння
21.1.1. Основні поняття
21.1.2. Розв'язання квазілінійного рівняння з частинними похідними першого порядку
21.1.3. Задача Коші
21.1.4. Рівняння Пфаффа
21.1.5. Приклади
21.2. Нелінійні рівняння першого порядку
21.2.1. Нелінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
21.2.2. Розв'язання задачі про знаходження інтегральної поверхні, що проходить через задану криву
21.2.3. Метод Коші
21.2.4. Узагальнення методу Коші
21.2.5. Приклади
21.3. Задачі для самостійної роботи
21.4. Відповіді
22. Наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь
22.1. Залежність розв'язку від початкових умов та параметрів
22.1.1. Про оцінку похибки наближеного розв'язання
22.1.2. Про відшукання похідних від розв'язків за параметром
22.1.3. Приклади
22.2. Аналітичні наближені методи
22.2.1. Метод степеневих рядів
22.2.2. Метод малого параметра
22.2.3. Приклади
22.3. Чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь
22.3.1. Метод Ойлера k-го порядку
22.3.2. Метод Рунге -- Кутти k-го порядку
22.3.3. Метод Штермера
22.3.4. Приклади
22.4. Задачі для самостійної роботи
22.5. Відповіді
23. Стійкість та фазові траєкторії
23.1. Стійкість
23.1.1. Стійкість за Ляпунову. Асимптотична стійкість
23.1.2. Дослідження на стійкість за першим наближенням: перша теорема Ляпунова
23.1.3. Дослідження на стійкість за допомогою функцій Ляпунова: друга теорема Ляпунова
23.1.4. Умови від'ємності всіх дійсних частин коренів рівняння \(a_0\lambda ^n+a_1\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{n-1}\lambda +a_n=0,\ a_0>0\), з дійсними коефіцієнтами
23.1.5. Приклади
23.2. Особливі точки
23.2.1. Означення особливих точок та їх класифікація
23.2.2. Практичні способи дослідження особливих точок
23.2.3. Приклади
23.3. Фазова площина
23.3.1. Основні поняття
23.3.2. Побудова фазового портрета
23.3.3. Граничні цикли
23.3.4. Ознаки відсутності граничних циклів
23.3.5. Ознаки наявності граничних циклів
23.3.6. Приклади
23.4. Задачі для самостійної роботи
23.5. Відповіді
24. Метод інтегральних перетворень Ляпляса розв'язання лінійних диференціальних рівнянь
24.1. Перетворення Ляпляса. Основні поняття та властивості
24.1.1. Оригінал і зображення
24.1.2. Властивості перетворення Ляпляса
24.1.3. Приклади
24.2. Згортка функцій. Теореми розкладання
24.2.1. Означення згортки
24.2.2. Теорема множення (Бореля)
24.2.3. Узагальнена теорема множення (Ефроса)
24.2.4. Формули Дюамеля
24.2.5. Приклади
24.3. Обернене перетворення Ляпляса
24.3.1. Формула обернення Рімана -- Мелліна
24.3.2. Відомості з теорії функцій комплексної змінної
24.3.3. Теореми розкладання
24.3.4. Приклади
24.4. Лінійні диференціальні рівняння та системи
24.4.1. Інтегрування рівнянь з постійними коефіцієнтами
24.4.2. Розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами
24.4.3. Розв'язання рівнянь з нульовими початковими умовами за допомогою інтеграла Дюамеля
24.4.4. Приклади
24.5. Інтегральні рівняння типу згортки. Особливі рівняння
24.5.1. Інтегральні рівняння типу згортки
24.5.2. Інтегральні рівняння другого роду
24.5.3. Інтегральні рівняння першого роду
24.5.4. Особливі інтегральні рівняння. Інтегральне рівняння Абеля
24.5.5. Приклади
24.6. Застосування операційного числення до розв'язання рівнянь з частинними похідними
24.6.1. Приклади
24.7. Задачі для самостійної роботи
24.8. Відповіді
25. Видатні вчені
25.1. Видатні вчені
26. Підтримка
26.1. Потрібна