І. І. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач, Математичний аналіз в прикладах і задачах

Зміст

1. Вступ до аналізу

1.1. Елементи теорії множин

1.1.1. Символи логіки

1.1.2. Операції над множинами

1.1.3. Булева алгебра

1.1.4. Принцип двоїстості

1.1.5. Алгебра множин

1.1.6. Приклади

1.1.7. Задачі для самостійної роботи

1.2. Функція. Відображення

1.2.1. Функція

1.2.2. Образ і прообраз множини при заданому відображенні

1.2.3. Композиція відображень. Обернене, параметричне та явне відображення

1.2.4. Приклади

1.2.5. Задачі для самостійної роботи

1.3. Дійсні числа

1.3.1. Бінарні відношення і бінарні операції

1.3.2. Аксіоми поля дійсних чисел

1.3.3. Розширена множина дійсних чисел

1.3.4. Основні характеристики дійсного числа

1.3.5. Метод математичної індукції

1.3.6. Приклади

1.3.7. Задачі для самостійної роботи

1.4. Комплексні числа

1.4.1. Комплексні числа та дії над ними

1.4.2. Геометрична інтерпретація комплексного числа

1.4.3. Приклади

1.4.4. Задачі для самостійної роботи

1.5. Векторні і метричні простори

1.5.1. Векторний простір

1.5.2. Нормовані векторні простори

1.5.3. Простір Евклейдеса

1.5.4. Метричний простір

1.5.5. Околи

1.5.6. Приклади

1.5.7. Задачі для самостійної роботи

1.6. Границя послідовності

1.6.1. Поняття послідовності

1.6.2. Збіжні послідовності та їх властивості

1.6.3. Ознаки існування границі

1.6.4. Число e

1.6.5. Границя в невласному розумінні

1.6.6. Часткові границі. Верхня та нижня границі

1.6.7. Збіжні послідовності в метричному просторі

1.6.8. Приклади

1.6.9. Задачі для самостійної роботи

1.7. Границя функції

1.7.1. Гранична точка множини. Границя функції у точці

1.7.2. Обмеженість функції

1.7.3. Символи Е. Ландау. Еквівалентні функції

1.7.4. Часткові границі

1.7.5. Границя функції комплексної змінної

1.7.6. Приклади

1.7.7. Задачі для самостійної роботи

1.8. Неперервність функції

1.8.1. Означення неперервності функції

1.8.2. Неперервність вектор-функцій та функціональних матриць

1.8.3. Точки розриву функції та їх класифікація. Особливі точки функції

1.8.4. Основні властивості неперервних функцій

1.8.5. Приклади

1.8.6. Задачі для самостійної роботи

1.9. Рівномірна неперервність функції

1.9.1. Означення рівномірної неперервності

1.9.2. Теорема Кантора

1.9.3. Приклади

1.9.4. Задачі для самостійної роботи

1.10. Відповіді

2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

2.1. Похідна явної функції

2.1.1. Основні означення

2.1.2. Правила обчислення похідних

2.1.3. Похідна складеної функції

2.1.4. Таблиця похідних

2.1.5. Похідна степенево-показникової функції

2.1.6. Похідна вектор-функції та матричної функції

2.1.7. Похідна комплексної функції скалярного аргументу

2.1.8. Приклади

2.1.9. Задачі для самостійної роботи

2.2. Диференціал функції

2.2.1. Основні означення

2.2.2. Критерій диференційовності функції

2.2.3. Інваріантність форми першого диференціала

2.2.4. Формула малих приростів

2.2.5. Правила диференціювання функцій

2.2.6. Приклади

2.2.7. Задачі для самостійної роботи

2.3. Похідна оберненої, параметричної та неявної функції

2.3.1. Похідна оберненої функції

2.3.2. Похідна параметрично заданої функції

2.3.3. Похідна неявно заданої функції

2.3.4. Приклади

2.3.5. Задачі для самостійної роботи

2.4. Похідні та диференціали вищих порядків

2.4.1. Основні означення

2.4.2. Похідні n-го порядку від основних елементарних функцій

2.4.3. Формула Ляйбніца

2.4.4. Похідні n-го порядку вектор-функції, комплекснозначної та матричної функцій

2.4.5. Приклади

2.4.6. Задачі для самостійної роботи

2.5. Теореми Ролля, Лаґранжа, Коші

2.5.1. Теорема Ролля

2.5.2. Теорема Лаґранжа

2.5.3. Теорема Коші

2.5.4. Приклади

2.5.5. Задачі для самостійної роботи

2.6. Зростання та спадання функції. Нерівності

2.6.1. Зростання та спадання функції

2.6.2. Критерій зростання (спадання) функції

2.6.3. Приклади

2.6.4. Задачі для самостійної роботи

2.7. Напрямок опуклості графіка функції. Точки перегину

2.7.1. Опуклість графіка функції

2.7.2. Точки перегину

2.7.3. Приклади

2.7.4. Задачі для самостійної роботи

2.8. Розкриття невизначеностей

2.8.1. Розкриття невизначеностей виду \(\frac {0}{0}\). Перше правило Лопіталя

2.8.2. Розкриття невизначеностей виду \(\frac {\infty }{\infty }\). Друге правило Лопіталя

2.8.3. Приклади

2.8.4. Задачі для самостійної роботи

2.9. Формула Тейлора

2.9.1. Формула Тейлора на проміжку

2.9.2. Локальна формула Тейлора (або формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано)

2.9.3. П'ять основних розкладів

2.9.4. Формула Тейлора для вектор-функції

2.9.5. Приклади

2.9.6. Задачі для самостійної роботи

2.10. Екстремум функції. Найбільше та найменше значення функції

2.10.1. Екстремум функції

2.10.2. Необхідна умова екстремуму

2.10.3. Достатні умови екстремуму

2.10.4. Абсолютний екстремум

2.10.5. Приклади

2.10.6. Задачі для самостійної роботи

2.11. Побудова графіків функцій за характерними точками

2.11.1. Схема побудови графіків функцій

2.11.2. Приклади

2.11.3. Задачі для самостійної роботи

2.12. Задачі на максимум та мінімум функції

2.12.1. Приклади

2.13. Відповіді

3. Невизначений інтеграл

3.1. Найпростіші невизначені інтеграли

3.1.1. Означення невизначеного інтеграла

3.1.2. Таблиця найпростіших інтегралів

3.1.3. Основні властивості невизначеного інтеграла

3.1.4. Основні методи інтегрування

3.1.5. Приклади

3.1.6. Задачі для самостійної роботи

3.2. Інтегрування раціональних функцій

3.2.1. Метод розкладання раціонального дробу

3.2.2. Приклади

3.2.3. Задачі для самостійної роботи

3.3. Інтегрування ірраціональних функцій

3.3.1. Приклади

3.3.2. Задачі для самостійної роботи

3.4. Інтегрування тригонометричних функцій

3.4.1. Приклади

3.4.2. Задачі для самостійної роботи

3.5. Інтегрування різних трансцендентних функцій

3.5.1. Приклади

3.5.2. Задачі для самостійної роботи

3.6. Різні приклади на інтегрування функцій

3.6.1. Приклади

3.6.2. Задачі для самостійної роботи

3.7. Інтегрування вектор-функцій та функціональних матриць

3.7.1. Інтегрування вектор-функцій та функціональних матриць

3.7.2. Приклади

3.7.3. Задачі для самостійної роботи

3.8. Відповіді

4. Визначений інтеграл

4.1. Інтеграл Рімана

4.1.1. Верхній і нижній інтеграли Рімана. Критерій інтегровності функції

4.1.2. Інтеграл Рімана як границя інтегральних сум

4.1.3. Деякі класи функцій, інтегровних за Ріманом

4.1.4. Міра Лебеґа і міра К. Жордана

4.1.5. Інтеграли функцій, заданих на довільних обмежених множинах. Множини, вимірні за К. Жорданом

4.1.6. Властивості інтеграла, виражені рівностями

4.1.7. Властивості інтеграла, виражені нерівностями

4.1.8. Формули заміни змінної та інтегрування частинами

4.1.9. Приклади

4.1.10. Задачі для самостійної роботи

4.2. Основні теореми та формули інтегрального числення

4.2.1. Визначений інтеграл як функція верхньої межі

4.2.2. Теореми про середнє значення

4.2.3. Приклади

4.2.4. Задачі для самостійної роботи

4.3. Інтегрування вектор-функцій, комплекснозначних функцій та функціональних матриць

4.3.1. Інтеграл Рімана вектор-функції

4.3.2. Інтеграл Рімана комплекснозначної функції

4.3.3. Інтеграл Рімана функціональної матриці

4.3.4. Приклади

4.3.5. Задачі для самостійної роботи

4.4. Невласні інтеграли

4.4.1. Невласні інтеграли першого і другого роду

4.4.2. Абсолютна збіжність

4.4.3. Алгебраїчні властивості невласних інтегралів

4.4.4. Заміна змінної у невласному інтегралі і формула інтегрування частинами

4.4.5. Випадок внутрішньої особливої точки

4.4.6. Ознаки порівняння Абеля та Діріхлє

4.4.7. Головне значення розбіжного невласного інтеграла

4.4.8. Приклади

4.4.9. Задачі для самостійної роботи

4.5. Функції обмеженої варіації

4.5.1. Варіація функції

4.5.2. Приклади

4.5.3. Задачі для самостійної роботи

4.6. Застосування визначеного інтеграла до розв'язання задач геометрії

4.6.1. Довжина дуги спрямленої кривої

4.6.2. Обчислення площ плоских фігур

4.6.3. Обчислення об'ємів тіл

4.6.4. Приклади

4.6.5. Задачі для самостійної роботи

4.7. Загальна схема застосування визначеного інтеграла. Задачі з механіки та фізики

4.8. Інтеграл Стілтьєса

4.9. Наближене обчислення визначених інтегралів

4.10. Відповіді

5. Ряди

5.1. Числові ряди. Ознаки збіжності знакосталих рядів

5.2. Ознаки збіжності знакосталих рядів

5.3. Дії над рядами

5.4. Функціональні послідовності та ряди. Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей і рядів

5.5. Степеневі ряди

5.6. Ряди Фур'є

5.7. Підсумування рядів. Обчислення визначених інтегралів за допомогою рядів

5.8. Відповіді

6. Диференціальне числення функцій векторного аргументу

6.1. Границя функції. Неперервність

6.2. Частинні похідні та диференціали функції векторного аргументу

6.3. Неявні функції

6.4. Заміна змінних

6.5. Формула Тейлора

6.6. Екстремум функції векторного аргументу

6.7. Відповіді

7. Інтеграли, залежні від параметра

7.1. Власні інтеграли, залежні від параметра

7.2. Невласні інтеграли, залежні від параметра. Рівномірна збіжність інтегралів

7.3. Диференціювання та інтегрування невласних інтегралів під знаком інтеграла

7.4. Інтеграли Ойлера

7.5. Інтегральна формула Фур'є

7.6. Відповіді

8. Кратні і криволінійні інтеграли

8.1. Інтеграл Рімана на компакті. Зведення кратних інтегралів до повторних та їх обчислення

8.2. Невласні кратні інтеграли

8.3. Застосування кратних інтегралів до розв'язання задач геометрії та фізики

8.4. Інтегрування на многовидах

8.5. Формули Остроградського, Гріна і Стокса

8.6. Елементи векторного аналізу

8.7. Запис основних диференціальних операцій векторного аналізу в ортогональних криволінійних координатах

8.8. Відповіді

9. Основні структури математичного аналізу

9.1. Елементи теорії множин та відображень

9.2. Математичні структури

9.3. Метричні простори

9.4. Компактні множини

9.5. Зв'язні простори та зв'язні множини

9.6. Границя і неперервність відображення з одного метричного простору в інший

10. Комплексні числа та функції комплексної змінної

10.1. Комплексні числа та комплексна площина

10.2. Топологія комплексної площини. Послідовності комплексних чисел. Властивості функцій, неперервних на компакті

10.3. Неперервні та гладкі криві. Однозв'язні та багатозв'язні області

10.4. Диференційовні функції комплексної змінної. Зв'язок між \(\mathbb {C}\)-диференційовністю та \(\mathbb {R}^2\)-диференційовністю. Аналітичні функції

10.5. Задачі для самостійної роботи

10.6. Відповіді

11. Елементарні функції в комплексній площині

11.1. Дробно-лінійні функції та їх властивості

11.2. Степенева функція \(w=z^n\ (n\in \mathbb {N},\ n\geqslant 2)\). Многозначна функція \(w=\sqrt [n]{z}\) і її поверхня Рімана

11.3. Показникова функція \(w=e^z\) і многозначна функція \(z=\textrm {Ln}\,w\)

11.4. Загальна степенева та загальна показникова функції

11.5. Функція Жуковського

11.6. Тригонометричні та гіперболічні функції

11.7. Задачі для самостійної роботи

11.8. Відповіді

12. Інтегрування в комплексній площині. Інтеграли Ньютена -- Ляйбніца та Коші

12.1. Інтеграл Ньютена -- Ляйбніца

12.2. Похідні та інтеграли Ньютена -- Ляйбніца будь-яких порядків

12.3. Похідна Ферма -- Лаґранжа. Формула Тейлора -- Пеано

12.4. Криволінійні інтеграли

12.5. Теорема та інтеграл Коші

12.6. Інтеграл типу Коші

12.7. Задачі для самостійної роботи

12.8. Відповіді

13. Ряди аналітичних функцій. Ізольовані особливі точки

13.1. Ряд Тейлора

13.2. Ряд Лорана та ізольовані особливі точки аналітичних функцій

13.3. Задачі для самостійної роботи

13.4. Відповіді

14. Аналітичне продовження

14.1. Основні поняття. Аналітичне продовження вздовж шляху

14.2. Повні аналітичні функції

14.3. Принципи аналітичного продовження

14.4. Задачі для самостійної роботи

14.5. Відповіді

15. Лишки та їх застосування

15.1. Означення лишків. Основна теорема

15.2. Цілі та мероморфні функції

15.3. Нескінченні добутки

15.4. Застосування лишків для обчислення інтегралів та сум рядів

15.5. Задачі для самостійної роботи

15.6. Відповіді

16. Деякі загальні питання геометричної теорії аналітичних функцій

16.1. Принцип аргументу. Теорема Руше

16.2. Збереження області та локальне обернення аналітичної функції

16.3. Екстремальні властивості модуля аналітичної функції

16.4. Принцип компактності. Функціонали на сімействі аналітичних функцій

16.5. Існування та єдиність конформного відображення

16.6. Відповідність меж та принцип симетрії при конформному відображенні

16.7. Конформне відображення многокутників. Інтеграл Крістоффеля -- Х. Шварца

16.8. Задачі для самостійної роботи

16.9. Відповіді

17. Основні поняття. Складання диференціальних рівнянь

17.1. Основні означення

17.2. Задачі для самостійної роботи

17.3. Відповіді

18. Диференціальні рівняння першого порядку

18.1. Рівняння з відокремлюваними змінними

18.2. Геометричні та фізичні задачі, що зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними

18.3. Однорідні рівняння та рівняння, що зводяться до них

18.4. Лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них

18.5. Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник

18.6. Рівняння Ойлера -- Ріккаті

18.7. Рівняння, не розв'язанні відносно похідної

18.8. Існування та єдиність розв'язку

18.9. Особливі розв'язки

18.10. Задачі на траєкторії

18.11. Задачі для самостійної роботи

18.12. Відповіді

19. Диференціальні рівняння вищих порядків

19.1. Види інтегровних нелінійних рівнянь

19.2. Рівняння, що допускають зниження порядку

19.3. Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами

19.4. Лінійні диференціальні рівняння зі змінними коефіцієнтами

19.5. Крайові задачі

19.6. Задачі для самостійної роботи

19.7. Відповіді

20. Системи диференціальних рівнянь

20.1. Лінійні системи

20.2. Нелінійні системи

20.3. Задачі для самостійної роботи

20.4. Відповіді

21. Рівняння з частинними похідними першого порядку

21.1. Лінійні та квазілінійні рівняння

21.2. Нелінійні рівняння першого порядку

21.3. Задачі для самостійної роботи

21.4. Відповіді

22. Наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь

22.1. Залежність розв'язку від початкових умов та параметрів

22.2. Аналітичні наближені методи

22.3. Чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь

22.4. Задачі для самостійної роботи

22.5. Відповіді

23. Стійкість та фазові траєкторії

23.1. Стійкість

23.2. Особливі точки

23.3. Фазова площина

23.4. Задачі для самостійної роботи

23.5. Відповіді

24. Метод інтегральних перетворень Ляпляса розв'язання лінійних диференціальних рівнянь

24.1. Перетворення Ляпляса. Основні поняття та властивості

24.2. Згортка функцій. Теореми розкладання

24.3. Обернене перетворення Ляпляса

24.4. Лінійні диференціальні рівняння та системи

24.5. Інтегральні рівняння типу згортки. Особливі рівняння

24.6. Застосування операційного числення до розв'язання рівнянь з частинними похідними

24.7. Задачі для самостійної роботи

24.8. Відповіді

25. Література

25.1. Монографії, огляди, підручники

26. Видатні вчені

26.1. Видатні вчені

27. Підтримка

27.1. Потрібна