І. М. Гельфанд, Г. Є. Шилов, Узагальнені функції. Том 1. Узагальнені функції та дії над ними

Зміст

1. Означення та найпростіші властивості узагальнених функцій

1.1. Основні та узагальнені функції

1.1.1. Вступні зауваження

1.1.2. Основні функції

1.1.3. Узагальнені функції

1.1.4. Локальні властивості узагальнених функцій

1.1.5. Операції додавання та множення на число та на функцію

1.1.6. Зсуви, обертання та інші лінійні перетворення в області незалежних змінних

1.1.7. Задача регуляризації розбіжних інтегралів

1.1.8. Граничний перехід

1.1.9. Комплексні основні та узагальнені функції

1.1.10. Інші основні простори

1.2. Диференціювання та інтегрування узагальнених функцій

1.2.1. Основні означення

1.2.2. Приклади для функцій однієї незалежної змінної

1.2.3. Приклади для функцій кількох незалежних змінних

1.2.4. Диференціювання як неперервна операція

1.2.5. Дельта-подібні послідовності

1.2.6. Диференціальні рівняння з узагальненими функціями

1.2.7. Диференціювання в просторі \(S\)

1.3. Регуляризація функцій зі степеневими особливостями

1.3.1. Формулювання питання

1.3.2. Узагальнені функції \(x_+^\lambda \) та \(x_-^\lambda \)

1.3.3. Парна та непарна комбінації функцій \(x_+^\lambda \) та \(x_-^\lambda \)

1.3.4. Невизначені інтеграли від функцій \(x_+^\lambda ,\ x_-^\lambda ,\ |x|^\lambda ,\ |x|^\lambda \operatorname{sgn} (x)\)

1.3.5. Нормування функцій \(x_+^\lambda ,\ x_-^\lambda ,\ |x|^\lambda ,\ |x|^\lambda \operatorname{sgn} x\)

1.3.6. Узагальнені функції \((x+i0)^\lambda \) та \((x-i0)^\lambda \)

1.3.7. Канонічна регуляризація

1.3.8. Регуляризація інших інтегралів

1.3.9. Узагальнена функція \(r^\lambda \)

1.3.10. Розкладання функції \(r^\lambda \) на плоскі хвилі

1.3.11. Однорідні функції

1.4. Приєднані функції

1.4.1. Приєднані функції

1.4.2. Розкладання функцій \(x_+^\lambda \) та \(x_-^\lambda \) в ряд Тейлора та ряд Лорана

1.4.3. Розкладання функцій \(|x|^\lambda \) та \(|x|^\lambda \operatorname{sgn} x\)

1.4.4. Функції \((x+i0)^\lambda \) та \((x-i0)^\lambda \)

1.4.5. Розкладання функцій \((x+i0)^\lambda \) та \((x-i0)^\lambda \) в ряд Тейлора

1.4.6. Розкладання функції \(r^\lambda \)

1.5. Згортка узагальнених функцій

1.5.1. Прямий добуток узагальнених функцій

1.5.2. Згортка узагальнених функцій

1.5.3. Потенціал Ньютена та фундаментальні розв'язки диференціальних рівнянь

1.5.4. Інтеграл Пуассона та фундаментальний розв'язок задачі Коші

1.5.5. Інтегрування і диференціювання довільного порядку

1.6. Фундаментальні розв'язки диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

1.6.1. Фундаментальні розв'язки еліптичних рівнянь

1.6.2. Фундаментальні розв'язки однорідних регулярних рівнянь

1.6.3. Фундаментальний розв'язок задачі Коші

1.7. Додаток 1. Локальні властивості узагальнених функцій

1.7.1. Побудова основних функцій шляхом усереднення неперервних

1.7.2. Розкладання одиниці

1.7.3. Локальні властивості узагальнених функцій

1.7.4. Диференціювання як локальна операція

1.8. Додаток 2. Узагальнені функції, що залежать від параметра

1.8.1. Неперервні функції

1.8.2. Диференційовні функції

1.8.3. Аналітичні функції

2. Перетворення Фур'є узагальнених функцій

2.1. Перетворення Фур'є основних функцій

2.1.1. Перетворення Фур'є функцій з простору \(K\)

2.1.2. Простір \(Z\)

2.1.3. Випадок кількох змінних

2.1.4. Функціонали на просторі \(Z\)

2.1.5. Аналітичні функціонали

2.1.6. Перетворення Фур'є функцій простору \(S\)

2.2. Перетворення Фур'є узагальнених функцій. Випадок однієї змінної

2.2.1. Означення

2.2.2. Приклади

2.2.3. Перетворення Фур'є узагальнених функцій \(x_+^\lambda ,\ x_-^\lambda ,\ |x|^\lambda ,\ |x|^\lambda \operatorname{sgn} x\)

2.2.4. Перетворення Фур'є узагальнених функцій \(x_+^\lambda \ln x_+\) та аналогічних

2.2.5. Перетворення Фур'є узагальненої функції \((ax^2+bx+c)_+^\lambda \)

2.2.6. Перетворення Фур'є аналітичних функціоналів

2.3. Перетворення Фур'є узагальнених функцій. Випадок кількох змінних

2.3.1. Означення

2.3.2. Перетворення Фур'є прямого добутку

2.3.3. Перетворення Фур'є узагальненої функції \(r^\lambda \)

2.3.4. Перетворення Фур'є узагальненої функції, зосередженої в обмеженій області

2.3.5. Перетворення Фур'є як границя послідовності функцій

2.4. Перетворення Фур'є та диференціальні рівняння

2.4.1. Попередні зауваження

2.4.2. Ітероване рівняння Ляпляса \(\Delta ^mu=f\)

2.4.3. Хвильове рівняння в просторі непарної розмірності

2.4.4. Зв'язок між фундаментальним розв'язком рівняння та фундаментальним розв'язком задачі Коші для нього

2.4.5. Класичне операційне числення

3. Спеціальні типи узагальнених функцій

3.1. Узагальнені функції, зосереджені на гладкій поверхні

3.1.1. Попередні відомості про диференціальні форми

3.1.2. Форма \(\omega \)

3.1.3. Узагальнена функція \(\delta (P)\)

3.1.4. Приклад: виведення формули Гріна

3.1.5. Форми \(\omega _k(\varphi )\) та узагальнені функції \(\delta ^{(k)}(P)\)

3.1.6. Тотожності для \(\delta ^{(k)}(P)\)

3.1.7. Тотожність для \(\delta ^{(k)}(a(x)P)\)

3.1.8. Шари

3.1.9. Узагальнені функції \(\delta (P_1, \ldots , P_k)\) та \(\dfrac {\partial ^m\delta (P_1, \ldots , P_k)}{\partial P_1^{\alpha _1}\ldots \partial P_k^{\alpha _k}}\)

3.2. Узагальнені функції, пов'язані з квадратичною формою

3.2.1. Означення функцій \(\delta _1^{(k)}(P)\) та \(\delta _2^{(k)}(P)\)

3.2.2. Узагальнена функція \(P_+^\lambda \)

3.2.3. Узагальнені функції \(\mathscr {P}^\lambda \), що відповідають квадратичним формам з комплексними коефіцієнтами

3.2.4. Узагальнені функції \((P+i0)^\lambda \) та \((P-i0)^\lambda \)

3.2.5. Фундаментальні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь

3.2.6. Перетворення Фур'є функцій \((P+i0)^\lambda \) та \((P-i0)^\lambda \)

3.2.7. Узагальнені функції, пов'язані з функціями Бесселя

3.2.8. Перетворення Фур'є узагальнених функцій \((c^2+P+i0)^\lambda \) та \((c^2+P-i0)^\lambda \)

3.2.9. Перетворення Фур'є узагальнених функцій \((c^2+P)_+^\lambda \) та \((c^2+P)_-^\lambda \)

3.2.10. Перетворення Фур'є узагальнених функцій \(\dfrac {(c^2+P)_+^\lambda }{\Gamma (\lambda +1)}\) та \(\dfrac {(c^2+P)_-^\lambda }{\Gamma (\lambda +1)}\) при цілих значеннях \(\lambda \). Перетворення Фур'є узагальненої функції \(\delta (c^2+P)\) та її похідних

3.3. Однорідні функції

3.3.1. Вступ

3.3.2. Додатні однорідні функції кількох незалежних змінних

3.3.3. Узагальнені однорідні функції степеня \(-n\)

3.3.4. Узагальнені однорідні функції степеня \(-n-m\)

3.3.5. Узагальнена функція вигляду \(r^\lambda f\), де \(f\) — узагальнена функція, задана на одиничній сфері

3.4. Довільні функції в степені \(\lambda \)

3.4.1. Означення звідних особливих точок

3.4.2. Дослідження узагальненої функції \(G^\lambda \) у випадку, коли поверхня \(G(x_1,\ldots ,x_n)=0\) цілком складається з точок 1-го порядку

3.4.3. Дослідження узагальненої функції \(G^\lambda \) у випадку, коли поверхня \(G(x_1,\ldots ,x_n)=0\) складається з точок не вище 2-го порядку

3.4.4. Узагальнена функція \(G^\lambda (x_1,\ldots ,x_n)\) в загальному випадку

3.4.5. Інтеграли від нескінченно диференційовної функції \(\varphi \) по поверхнях рівня \(G(x_1,\ldots ,x_n)=c\)

4. Додаток

4.1. Основні означення та формули

4.1.1. Частина 1, розділ 1

4.1.2. Частина 1, розділ 2

4.1.3. Частина 1, розділ 3

4.1.4. Частина 1, розділ 4

4.1.5. Частина 1, розділ 5

4.1.6. Частина 1, розділ 6

4.1.7. Частина 2

4.1.8. Частина 3, розділ 1

4.1.9. Частина 3, розділ 2

4.1.10. Частина 3, розділ 3

4.1.11. Частина 3, розділ 4

4.2. Зведена таблиця перетворень Фур'є

4.3. Доведення повноти простору узагальнених функцій