І. М. Гельфанд, Лекції з лінійної алгебри
Зміст
1. n-вимірний простір. Лінійні та білінійні форми
1. Лінійний (афінний) n-вимірний простір
1.1. Означення лінійного простору
1.2. Кількість вимірів (розмірність) простору
1.3. Базис і координати в n-вимірному просторі
1.4. Ізоморфізм n-вимірних просторів
1.5. Підпростори лінійного простору
1.6. Розкладання простору R в пряму суму просторів. Сума і перетин просторів
1.7. Перетворення координат при зміні базису
2. Евклідів простір
2.1. Означення евклідового простору
2.2. Довжина вектору. Кут між векторами
2.3. Нерівність Коші – Буняковського
3. Ортогональний базис. Ізоморфізм евклідових просторів
3.1. Ортогональний базис
3.2. Перпендикуляр із точки на підпросторі. Найкоротша відстань від точки до підпростору
3.3. Ізоморфізм евклідових просторів
4. Білінійні та квадратичні форми
4.1. Лінійна функція
4.2. Білінійні форми
4.3. Матриця білінійної форми
4.4. Перетворення матриці білінійної форми при зміні базису
4.5. Квадратичні форми
5. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
6. Зведення квадратичної форми до суми квадратів трикутним перетворенням
6.1. Побудова базису
6.2. Кількість додатних і від'ємних коефіцієнтів
6.3. Визначники Грама
7. Закон інерції квадратичної форми
7.1. Закон інерції
7.2. Ранг квадратичної форми
8. Комплексний n-вимірний простір
8.1. Комплексний лінійний простір
8.2. Комплексний евклідів простір
8.3. Ортогональний базис. Ізоморфізм комплексних евклідових просторів
8.4. Білінійні та квадратичні форми
8.5. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
8.6. Зведення ермітової квадратичної форми до суми квадратів трикутним перетворенням
8.7. Закон інерції
2. Лінійні перетворення
9. Лінійні перетворення та операції над ними
9.1. Основні означення
9.2. Зв'язок між матрицями та лінійними перетвореннями
9.3. Додавання та множення лінійних перетворень
9.4. Обернене перетворення. Ядро та образ перетворення
9.5. Зв'язок між матрицями лінійних перетворень в різних базисах
9.6. Лінійне перетворення простору \(R_1\) в простір \(R_2\)
10. Інваріантні підпростори, власні вектори і власні значення лінійного перетворення
10.1. Інваріантні підпростори
10.2. Власні вектори і власні значення
10.3. Найпростіше лінійне перетворення
10.4. Характеристичний многочлен
11. Лінійне перетворення, спряжене до заданого
11.1. Зв'язок між лінійними перетвореннями та білінійними формами в евклідовому просторі
11.2. Операція переходу від перетворення A до спряженого (операція *)
11.3. Самоспряжені, унітарні та нормальні лінійні перетворення
12. Самоспряжені (ермітові) перетворення. Одночасне зведення пари квадратичних форм до суми квадратів
12.1. Самоспряжені перетворення
12.2. Зведення до головних осей. Одночасне зведення пари квадратичних форм до суми квадратів
13. Унітарні перетворення
14. Переставні лінійні перетворення. Нормальні перетворення
14.1. Переставні перетворення
14.2. Нормальні перетворення
15. Розкладання лінійного перетворення в добуток унітарного та ермітового
16. Лінійне перетворення в дійсному евклідовому просторі
16.1. Інваріантний підпростір
16.2. Самоспряжені перетворення
16.3. Зведення квадратичної форми в ортогональному базисі до суми квадратів. (Зведення до головних осей.)
16.4. Одночасне зведення пари квадратичних форм до суми квадратів
16.5. Ортогональні перетворення
17. Екстремальні властивості власних значень
3. Канонічний вигляд довільних лінійних перетворень
18. Нормальна форма лінійного перетворення
19. Зведення довільного перетворення до нормальної форми
19.1. Власні і приєднані вектори лінійного перетворення
19.2. Виділення підпростору, в якому перетворення A має лише одне власне значення
19.3. Зведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням
20. Інше доведення теореми про зведення до нормальної форми
21. Інваріантні множники
22. λ-матриці
22.1. Поліноміальна матриця
22.2. Нормальна форма
22.3. Обернена λ-матриця
22.4. Жорданова форма
4. Поняття тензора
23. Спряжений (двоїстий) простір
23.1. Означення двоїстого простору
23.2. Біортогональні (взаємні) базиси
23.3. Взаємозамінність R і R'
23.4. Перетворення координат в R і R'
23.5. Простір спряжений до евклідового
24. Тензори
24.1. Полілінійні функції
24.2. Вирази для полілінійної функції в заданій системі координат. Перехід від однієї системи координат до іншої
24.3. Означення тензора
24.4. Тензори в евклідовому просторі
24.5. Операції над тензорами
24.6. Симетричні і знакозмінні (антисиметричні) тензори
25. Тензорний добуток
25.1. Тензорний добуток \(R\otimes R\)
25.2. Зв'язок між білінійними формами в просторі $R$ і лінійними функціями в \(R\otimes R\)
25.3. Розмірність тензорного добутку \(R\otimes R\)
25.4. Тензорний добуток \(R_1\otimes \ldots \otimes R_m\)
25.5. Зв'язок між тензорами та елементами тензорних добутків
25.6. Тензорний добуток лінійних перетворень
25.7. Поняття функтора
25.8. Симетричний і зовнішній степінь
25.9. Зовнішній степінь \(\overset {m}{\wedge }R\)
25.10. Тензорний добуток евклідових просторів
5. Теорія збурень
26. Випадок некратних власних значень
27. Випадок кратних власних значень
6. Видатні вчені
28. Видатні вчені
7. Підтримка
29. Потрібна
29.1. Дуже