Ф. Р. Гантмахер, Теорія матриць
Зміст
1. Матриці та дії над ними
1.1. Матриці. Основні позначення
1.2. Додавання і множення прямокутних матриць
1.3. Квадратні матриці
1.4. Асоційовані матриці. Мінори оберненої матриці
1.5. Обернення прямокутних матриць. Псевдо-обернена матриця
2. Алгоритм Ґаусса та деякі його застосування
2.1. Метод виключення Ґаусса
2.2. Механічна інтерпретація алгоритму Ґаусса
2.3. Детермінантна тотожність Сильвестра
2.4. Розкладання квадратної матриці на трикутні множники
2.5. Розбиття матриці на блоки. Техніка оперування блочними матрицями. Узагальнений алгоритм Ґаусса
3. Лінійні оператори в n-вимірному векторному просторі
3.1. Векторний простір
3.2. Лінійний оператор, що відображає n-вимірний простір в m-вимірний
3.3. Додавання і множення лінійних операторів
3.4. Перетворення координат
3.5. Еквівалентні матриці. Ранг оператора. Нерівність Сильвестра
3.6. Лінійні оператори, що відображають n-вимірний простір сам в себе
3.7. Характеристичні числа і власні вектори лінійного оператора
3.8. Лінійні оператори простої структури
4. Характеристичний і мінімальний многочлени матриці
4.1. Додавання і множення матричних многочленів
4.2. Праве і ліве ділення матричних многочленів. Узагальнена теорема Бєзу
4.3. Характеристичний многочлен матриці. Приєднана матриця
4.4. Метод Фадєєва одночасного обчислення коефіцієнтів характеристичного многочлена і приєднаної матриці
4.5. Мінімальний многочлен матриці
5. Функції від матриці
5.1. Означення функції від матриці
5.2. Інтерполяційний многочлен Лаґранжа – Сильвестра
5.3. Інші форми визначення f(A). Компоненти матриці A
5.4. Представлення функції від матриці рядами
5.5. Деякі властивості функцій від матриці
5.6. Застосування функції від матриці до інтегрування системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
5.7. Стійкість руху для випадку лінійної системи
6. Еквівалентні перетворення многочленних матриць. Аналітична теорія елементарних дільників
6.1. Елементарні перетворення многочленної матриці
6.2. Канонічний вигляд \(\lambda \)-матриці
6.3. Інваріантні многочлени і елементарні дільники многочленної матриці
6.4. Еквівалентність лінійних двочленів
6.5. Критерій подібності матриць
6.6. Нормальні форми матриці
6.7. Елементарні дільники матриці f(A)
6.8. Загальний метод побудови матриці перетворення
6.9. Другий метод побудови матриці перетворення
7. Структура лінійного оператора в n-вимірному просторі (геометрична теорія елементарних дільників)
7.1. Мінімальний многочлен вектора простору (відносно заданого лінійного оператора)
7.2. Розщеплення на інваріантні підпростори з взаємно простими мінімальними многочленами
7.3. Порівняння. Надпростір
7.4. Розщеплення простору на циклічні інваріантні підпростори
7.5. Нормальна форма матриці
7.6. Інваріантні многочлени. Елементарні дільники
7.7. Нормальна жорданова форма матриці
7.8. Метод Крилова перетворення характеристичного рівняння
8. Матричні рівняння
8.1. Рівняння AX=XB
8.2. Частковий випадок A=B. Переставні матриці
8.3. Рівняння AX-XB=C
8.4. Скалярне рівняння f(X)=0
8.5. Матричне многочленне рівняння
8.6. Добування кореня m-го степеня з невиродженої матриці
8.7. Добування кореня m-го степеня з виродженої матриці
8.8. Логарифм матриці
9. Лінійні оператори в унітарному просторі
9.1. Загальні міркування
9.2. Метризація простору
9.3. Критерій Грама лінійної залежності векторів
9.4. Ортогональне проєктування
9.5. Геометричний зміст визначника Грама і деякі нерівності
9.6. Ортогоналізація набору векторів
9.7. Ортонормований базис
9.8. Спряжений оператор
9.9. Нормальні оператори в унітарному просторі
9.10. Спектр нормальних, ермітових, унітарних операторів
9.11. Невід'ємні та додатно визначені ермітові оператори
9.12. Полярне розкладання лінійного оператора в унітарному просторі. Формули Кейлі
9.13. Лінійні оператори в евклідовому просторі
9.14. Полярне розкладання оператора і формули Кейлі в евклідовому просторі
9.15. Переставні нормальні оператори
9.16. Псевдо-обернений оператор
10. Квадратичні та ермітові форми
10.1. Перетворення змінних в квадратичній формі
10.2. Зведення квадратичної форми до суми квадратів. Закон інерції
10.3. Метод Лаґранжа зведення квадратичної форми до суми квадратів. Формула Якобі
10.4. Додатні квадратичні форми
10.5. Зведення квадратичної форми до головних осей
10.6. Пучок квадратичних форм
10.7. Екстремальні властивості характеристичних чисел регулярного пучка форм
10.8. Малі коливання системи з n ступенями свободи
10.9. Ермітові форми
10.10. Форми Ханкеля
11. Комплексні симетричні, кососиметричні та ортогональні матриці
11.1. Деякі формули для комплексних ортогональних і унітарних матриць
11.2. Полярне розкладання комплексної матриці
11.3. Нормальна форма комплексної симетричної матриці
11.4. Нормальна форма комплексної кососиметричної матриці
11.5. Нормальна форма комплексної ортогональної матриці
12. Сингулярні пучки матриць
12.1. Вступ
12.2. Регулярний пучок матриць
12.3. Сингулярні пучки. Теорема про зведення
12.4. Канонічна форма сингулярного пучка матриць
12.5. Мінімальні індекси пучка. Критерій строгої еквівалентності пучків
12.6. Сингулярні пучки квадратичних форм
12.7. Застосування до диференціальних рівнянь
13. Матриці з невід'ємними елементами
13.1. Загальні властивості
13.2. Спектральні властивості нерозкладних невід'ємних матриць
13.3. Розкладні матриці
13.4. Нормальна форма розкладної матриці
13.5. Примітивні та імпримітивні матриці
13.6. Стохастичні матриці
13.7. Граничні ймовірності для однорідного ланцюга Маркова зі скінченною кількістю станів
13.8. Цілком невід'ємні матриці
13.9. Осциляційні матриці
14. Критерій регулярності та локалізації характеристичних значень
14.1. Критерій регулярності Адамара і його узагальнення
14.2. Норма матриці
14.3. Поширення критерію Адамара на блочні матриці
14.4. Критерій регулярності Фідлєра
14.5. Круги Гершгорина та інші області локалізації
15. Застосування теорії матриць до вивчення систем лінійних диференціальних рівнянь
15.1. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Загальні поняття
15.2. Перетворення Ляпунова
15.3. Системи, які можна звести
15.4. Канонічна форма. Теорема Єругіна
15.5. Матрицант
15.6. Мультиплікативний інтеграл. Інфінітезимальне числення Вольтерри
15.7. Диференціальні системи в комплексній області. Загальні властивості
15.8. Мультиплікативний інтеграл в комплексній області
15.9. Ізольована особлива точка
15.10. Регулярна особлива точка
15.11. Аналітичні системи, які можна звести
15.12. Аналітичні функції від багатьох матриць і їх застосування до вивчення диференціальних систем. Роботи Лаппо-Данилевського
16. Задача Рауса – Хурвіца і суміжні питання
16.1. Вступ
16.2. Індекси Коші
16.3. Алгоритми Рауса
16.4. Особливі випадки. Приклади
16.5. Теорема Ляпунова
16.6. Теорема Рауса – Хурвіца
16.7. Формула Орландо
16.8. Особливі випадки в теоремі Рауса – Хурвіца
16.9. Метод квадратичних форм. Визначення числа різних дійсних коренів многочлена
16.10. Нескінченні матриці Ханкеля скінченного рангу
16.11. Визначення індексу довільного раціонального дробу через коефіцієнти чисельника і знаменника
16.12. Друге доведення теореми Рауса – Хурвіца
16.13. Деякі додатки до теореми Рауса – Хурвіца. Критерій стійкості Л'єнара – Шипара
16.14. Деякі властивості многочлена Хурвіца. Теорема Стілтьєса. Представлення многочленів Хурвіца неперервними дробами
16.15. Область стійкості. Параметри Маркова
16.16. Зв'язок з задачею моментів
16.17. Зв'язок між визначниками Хурвіца і визначниками Маркова
16.18. Теореми Маркова і Чебишова
16.19. Узагальнена задача Рауса – Хурвіца
17. Додаток. Нерівності для власних та сингулярних чисел (Лідський)
17.1. Мажорантні послідовності
17.2. Нерівність Ноймана – Хорна
17.3. Нерівності Вейля
17.4. Максимально-мінімальні властивості сум і добутків власних чисел ермітових операторів
17.5. Нерівності для власних та сингулярних чисел сум і добутків операторів
17.6. Інше формулювання задачі про спектр суми і добутку ермітових операторів
18. Література
18.1. Монографії, огляди, підручники
18.2. Спеціальні статті
19. Видатні вчені
19.1. Видатні вчені
20. Підтримка
20.1. Потрібна