Н. І. Ахієзер, І. М. Глазман, Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі

Зміст

1. Простір Хільберта

1. Лінійні системи

2. Лінійні многовиди

3. Скалярний добуток

4. Деякі загальні поняття

5. Простір Хільберта

6. Відстань від точки до опуклої множини в H

7. Проекція вектора на підпростір

8. Ортогоналізація послідовності векторів

9. Нерівність Бесселя і рівняння замкненості

10. Повні ортогональні системи векторів в H

11. Простір \(L^2\)

12. Повні ортонормовані послідовності в \(L^2\)

13. Біортогональні системи векторів в H

14. Простір \(L_\sigma ^2\)

15. Простір майже-періодичних функцій

16. Поняття про базис простору

2. Лінійний функціонал і обмежений лінійний оператор

17. Функція точки

18. Лінійний функціонал

19. Теорема Ф. Рісса

20. Критерій замкненості в H заданої системи векторів

21. Одна лема про випуклі функціонали

22. Обмежений лінійний оператор

23. Білінійний функціонал

24. Загальний вигляд білінійного функціонала

25. Спряжений оператор

26. Слабка збіжність в H

27. Компактність

28. Один критерій обмеженості оператора

29. Лінійний оператор в сепарабельному просторі

30. Поняття про цілком неперервний оператор

31. Абсолютна норма

32. Оператори Хільберта – Е. Шміта

33. Збіжні послідовності обмежених лінійних операторів

34. Множина обмежених лінійних операторів у сепарабельному просторі Хільберта

3. Оператор проєктування та унітарний оператор

35. Означення оператора проєктування

36. Властивості операторів проєктування

37. Дії над операторами проєктування

38. Послідовності операторів проєктування

39. Розхил двох лінійних многовидів

40. Унітарний оператор

41. Ізометричний оператор

42. Оператор Фур'є – Планшереля

4. Деякі загальні поняття і твердження теорії лінійних операторів

43. Поняття про замкнений оператор

44. Загальне означення спряженого оператора

45. Власні вектори, інваріантні підпростори і зведення лінійних операторів

46. Симетричні оператори

47. Знову про ізометричні та унітарні оператори

48. Поняття про спектр

49. Резольвента

50. Оператор спряження

51. Метод графіка

52. Узагальнення поняття про оператор проєктування

53. Матричне представлення необмежених симетричних операторів

54. Оператор множення на незалежну змінну

55. Оператор диференціювання

5. Спектральний аналіз цілком неперервних операторів

56. Два допоміжні твердження

57. Про власні значення цілком неперервних операторів в R

58. Теореми Фредгольма для цілком неперервних операторів

59. Метод Ф. Рісса в теорії лінійних функціональних рівнянь

60. Цілком неперервні самоспряжені оператори в R

61. Цілком неперервні нормальні оператори

62. Застосування до теорії майже-періодичних функцій

63. Розкладання довільного цілком неперервного оператора в ряд одновимірних операторів

64. Ядерні оператори

65. Теорема Шаудера про нерухому точку

66. Теорема про існування інваріантного підпростору у\\ довільного цілком неперервного оператора та її узагальнення

6. Спектральний аналіз унітарних та самоспряжених операторів

67. Розкладання одиниці

68. Тригонометрична проблема моментів

69. Аналітичні функції зі значеннями, що лежать в півплощині

70. Теорема Бохнера – Хінчіна

71. Спектральний розклад унітарного оператора

72. Операторні інтеграли Стілтьєса

73. Інтегральне представлення групи унітарних операторів

74. Інтегральне представлення резольвенти самоспряженого оператора

75. Спектральний розклад самоспряжених операторів

76. Про множини нульової операторної міри у разі сепарабельного простору

77. Функції від унітарного оператора

78. Безпосередній вивід спектрального розкладу унітарного оператора

79. Перетворення Кейлі

80. Про переставні оператори

81. Спектральний розклад обмежених нормальних операторів

82. Спектр самоспряженого та нормального операторів

83. Простий спектр

84. Про спектральні типи

85. Кратний спектр

86. Канонічна форма самоспряженого оператора зі скінченнократним спектром

87. Поняття про унітарні інваріанти самоспряжених операторів

88. Загальне означення функції від самоспряженого оператора

89. Приклади

90. Кільця обмежених самоспряжених операторів

91. Характеристична властивість функцій від самоспряженого оператора

92. Теорема про породжуючий оператор

7. Спектр і збурення самоспряжених операторів

93. Неперервний спектр самоспряженого оператора

94. Теореми Х. Вейля та Ноймана про цілком неперервні збурення

95. Абсолютно неперервна та сингулярна частини спектра

96. Інваріантність абсолютно неперервної частини спектра щодо скінченновимірних збурень

97. Означення та формальні властивості хвильових операторів

98. Існування хвильових операторів в разі скінченновимірних збурень

99. Перехід до загального випадку ядерних збурень

8. Теорія розширення симетричних операторів

100. Індекси дефекту

101. Знову про перетворення Кейлі

102. Формули Ноймана

103. Прості симетричні оператори

104. Структура максимальних операторів

105. Спектри самоспряжених розширень заданого симетричного оператора

106. Формула Крейна для резольвент самоспряжених розширень заданого симетричного оператора

107. Про самоспряжені розширення напівобмежених операторів

108. Самоспряжені розширення обмеженого симетричного\\ оператора з нещільною в H областю визначення, що зберігають його норму

109. Самоспряжені розширення напівобмеженого симетричного оператора зі збереженням його нижньої межи

9. Узагальненні розширення і узагальнені спектральні функції симетричних операторів

110. Узагальнене розкладання одиниці. Теорема Наймарка

111. Самоспряжені розширення з виходом з простору та спектральні функції симетричних операторів

112. Спектральні функції симетричного оператора та узагальненні резольвенти

113. Формула Крейна для узагальнених резольвент

114. Квазісамоспряжені розширення та характеристична функція симетричного оператора

115. Про трикутний розклад деяких не самоспряжених операторів

10. Інтегральні оператори

116. Означення та допоміжні факти

117. Приклад

118. Спектральні функції інтегрального оператора з ядром Карлемана

119. Спектральні представлення ядра Карлемана

120. Узагальнені формули Хільберта – Е. Шміта

121. Характеристичні властивості інтегральних операторів Карлемана

122. Теорема Ноймана

11. Диференціальні оператори

123. Самоспряжені диференціальні оператори

124. Регулярні диференціальні оператори

125. Самоспряжені розширення регулярного диференціального оператора

126. Сингулярні диференціальні оператори

127. Самоспряжені розширення сингулярного диференціального оператора

128. Резольвенти самоспряжених розширень

129. Формули обернення, пов'язані з диференціальними операторами другого порядку

130. Узагальнення на диференціальні оператори довільного порядку

131. Дослідження характеру спектра диференціальних операторів методом розщеплення

132. Приклади

12. Додаток

133. Деякі обернені задачі спектрального аналізу, пов'язані з гіпереліптичними інтегралами

13. Література

134. Монографії, огляди, підручники

14. Видатні вчені

135. Видатні вчені

15. Підтримка

136. Потрібна