В. І. Арнольд, Звичайні диференціальні рівняння

Зміст

1. Основні поняття

1. Фазові простори

1.1. Приклади еволюційних процесів

1.2. Фазові потоки

1.3. Інтегральні криві поля напрямків

1.4. Диференціальне рівняння та його розв'язок

1.5. Еволюційне рівняння з одномірним фазовим простором

1.6. Приклад: рівняння нормального розмноження

1.7. Приклад: рівняння вибуху

1.8. Приклад: логістична крива

1.9. Приклад: квоти вилову

1.10. Приклад: вилов з відносною квотою

1.11. Рівняння з многовимірним фазовим простором

1.12. Приклад: диференціальне рівняння системи хижак-жертва

1.13. Приклад: вільна частинка на прямій

1.14. Приклад: вільне падіння

1.15. Приклад: малі коливання

1.16. Приклад: математичний маятник

1.17. Приклад: перевернутий маятник

1.18. Приклад: малі коливання сферичного маятника

2. Векторні поля на прямій

2.1. Існування та унікальність розв'язку

2.2. Контрприклад

2.3. Доведення унікальності

2.4. Прямі добутки

2.5. Приклади прямих добутків

2.6. Рівняння з відокремлюваними змінними

2.7. Приклад: модель Лотки – Вольтерри

3. Лінійні рівняння

3.1. Лінійні однорідні рівняння

3.2. Лінійні однорідні рівняння першого порядку з періодичними коефіцієнтами

3.3. Лінійні неоднорідні рівняння

3.4. Функція впливу та \(\delta \)-подібні неоднорідності

3.5. Лінійні неоднорідні рівняння з періодичними коефіцієнтами

4. Фазові потоки

4.1. Дія групи на множині

4.2. Однопараметричні групи перетворень

4.3. Однопараметричні групи дифеоморфізмів

4.4. Векторне поле фазової швидкості

5. Дія дифеоморфізмів на векторні поля та на поля напрямків

5.1. Дія гладких відображень на вектори

5.2. Дія дифеоморфізмів на векторні поля

5.3. Заміна змінних в рівнянні

5.4. Дія дифеоморфізмів на поле напрямків

5.5. Дія дифеоморфізму на фазовий потік

6. Симетрії

6.1. Групи симетрій

6.2. Застосування однопараметричної групи симетрій для інтегрування рівнянь

6.3. Однорідні рівняння

6.4. Квазіоднорідні рівняння

6.5. Міркування подібності та розмірностей

6.6. Методи інтегрування диференціальних рівнянь

2. Основні теореми

7. Теореми вирівнювання

7.1. Вирівнювання поля напрямків

7.2. Теореми існування та єдиності

7.3. Теореми про неперервну і диференційовну залежність розв'язків від початкової умови

7.4. Перетворення за час від \(t_0\) до t

7.5. Теореми про неперервну і диференційовну залежність від параметра

7.6. Теореми про продовження

7.7. Вирівнювання векторного поля

8. Застосування до рівнянь першого порядку

8.1. Еквівалентність рівняння n-го порядку та системи n рівнянь першого порядку.

8.2. Теореми існування та єдиності

8.3. Теореми про диференційовність та продовження

8.4. Системи рівнянь

8.5. Зауваження щодо термінології

9. Фазові криві автономної системи

9.1. Автономні системи

9.2. Часовий зсув

9.3. Замкнені фазові криві

10. Похідна у напрямі векторного поля та перші інтеграли

10.1. Похідна у напрямі вектора

10.2. Похідна у напрямі векторного поля

10.3. Властивості похідної за напрямом

10.4. Алгебра Лі векторних полів

10.5. Перші інтеграли

10.6. Локальні перші інтеграли

10.7. Перші інтеграли, що залежать від часу

11. Лінійні та квазілінійні рівняння першого порядку з частинними похідними

11.1. Лінійне однорідне рівняння

11.2. Задача Коші

11.3. Лінійне неоднорідне рівняння

11.4. Квазілінійне рівняння

11.5. Характеристики квазілінійного рівняння

11.6. Інтегрування квазілінійного рівняння

11.7. Нелінійне рівняння з частинними похідними першого порядку

12. Консервативна система з одним ступенем вільності

12.1. Означення

12.2. Закон збереження енергії

12.3. Лінії рівня енергії

12.4. Лінії рівня енергії поблизу особливої точки

12.5. Продовження розв'язків рівняння Ньютена

12.6. Некритичні лінії рівня енергії

12.7. Доведення теореми

12.8. Критичні лінії рівня

12.9. Приклад

12.10. Малі збурення консервативної системи

3. Лінійні системи

13. Лінійні задачі

14. Показникова функція

14.1. Норма оператора

14.2. Метричний простір операторів

14.3. Доведення повноти

14.4. Ряди

14.5. Означення експоненти \(e^A\)

14.6. Приклад

14.7. Експонента діагонального оператора

14.8. Експонента нільпотентного оператора

14.9. Квазімногочлени

15. Властивості експоненти

15.1. Групова властивість

15.2. Основна теорема теорії лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

15.3. Загальний вид однопараметричних груп лінійних перетворень простору \(\mathbb {R}^n\)

15.4. Друге означення експоненти

15.5. Приклад: формула Ойлера для \(e^z\)

15.6. Ламані Ойлера

16. Визначник експоненти

16.1. Визначник оператора

16.2. Слід оператора

16.3. Зв'язок визначника і сліду

16.4. Визначник оператора \(e^A\)

17. Практичне обчислення матриці експоненти — випадок дійсних та різних власних чисел

17.1. Діагональний оператор

17.2. Приклад

17.3. Дискретний випадок

18. Комплексифікація та перехід до дійсного простору

18.1. Реалізація

18.2. Комплексифікація

18.3. Комплексне спряження

18.4. Експонента, визначник та слід комплексного оператора

18.5. Похідна кривої з комплексними значеннями

19. Лінійне рівняння з комплексним фазовим простором

19.1. Означення

19.2. Основна теорема

19.3. Діагональний випадок

19.4. Приклад: лінійне рівняння, фазовим простором якого є комплексна пряма

19.5. Наслідок

20. Комплексифікація дійсного лінійного рівняння

20.1. Комплексифіковане рівняння

20.2. Інваріантні підпростори дійсного оператора

20.3. Лінійне рівняння на площині

20.4. Класифікація особливих точок на площині

20.5. Приклад: маятник з тертям

20.6. Загальний розв'язок лінійного рівняння у випадку простих коренів характеристичного рівняння

21. Класифікація особливих точок лінійних систем

21.1. Особливі точки в тривимірному просторі

21.2. Лінійна, диференційовна та топологічна еквівалентність

21.3. Лінійна класифікація

21.4. Диференційовна класифікація

22. Топологічна класифікація особливих точок

22.1. Теорема

22.2. Зведення до випадку \(m_-=0\)

22.3. Функція Ляпунова

22.4. Побудова функції Ляпунова

22.5. Оцінка похідної

22.6. Побудова гомеоморфізму h

22.7. Доведення леми 3

22.8. Доведення теореми про топологічну класифікацію

23. Стійкість положень рівноваги

23.1. Стійкість за Ляпуновим

23.2. Асимптотична стійкість

23.3. Теорема про стійкість за першим наближенням

23.4. Доведення теореми

24. Випадок уявних власних чисел

24.1. Топологічна класифікація

24.2. Приклад

24.3. Фазові криві рівняння на торі

24.4. Наслідки

24.5. Многовимірний випадок

24.6. Рівномірний розподіл

25. Випадок кратних власних чисел

25.1. Обчислення \(e^{At}\), де A --- жорданова клітина

25.2. Додатки

25.3. Застосування до систем рівнянь вищого порядку

25.4. Випадок одного рівняння n-го порядку

25.5. Про зворотні послідовності

25.6. Малі коливання

26. Про квазімногочлени

26.1. Лінійний простір функцій

26.2. Лінійний простір розв'язків лінійного рівняння

26.3. Інваріантність відносно зсувів

26.4. Примітка з історії

26.5. Неоднорідні рівняння

26.6. Метод комплексних амплітуд

26.7. Застосування щодо розрахунку слабо нелінійних коливань

27. Лінійні неавтономні рівняння

27.1. Означення

27.2. Існування розв'язків

27.3. Лінійний простір розв'язків

27.4. Визначник Вронського

27.5. Випадок одного рівняння

27.6. Теорема Ліувілля

27.7. Теореми Штурма про нулі розв'язків рівнянь другого порядку

28. Лінійні рівняння з періодичними коефіцієнтами

28.1. Відображення за період

28.2. Умови стійкості

28.3. Сильно стійкі системи

28.4. Обчислення

29. Варіація констант

29.1. Найпростіший випадок

29.2. Загальний випадок

29.3. Обчислення

4. Доведення основних теорем

30. Стискуючі відображення

30.1. Означення

30.2. Теорема про стискуючі відображення

30.3. Зауваження

31. Доведення теорем існування та неперервної залежності від початкових умов

31.1. Послідовне наближення Пікара

31.2. Попередні оцінки

31.3. Умова Ліпшиця

31.4. Диференційовність та умова Ліпшиця

31.5. Величини C, L, a', b'

31.6. Метричний простір M

31.7. Стискуюче відображення \(A\colon M\to M\)

31.8. Теорема існування та єдиності

31.9. Інші застосування стискуючих відображень

32. Теорема про диференційовність

32.1. Рівняння у варіаціях

32.2. Теорема про диференційовність

32.3. Похідні вищих порядків за змінною x

32.4. Похідні за змінними x і t

32.5. Теорема про випрямлення

32.6. Крайня похідна

5. Диференціальні рівняння на многовидах

33. Диференційовні многовиди

34. Дотичне розшарування. Векторні поля на многовидах

35. Фазовий потік, заданий векторним полем

35.1. Теорема

35.2. Побудова дифеоморфізмів \(g^t\) при малих t

35.3. Побудова дифеоморфізмів \(g^t\) при довільних t

35.4. Зауваження

36. Індекси особливих точок векторного поля

36.1. Індекс кривої

36.2. Властивості індексу

36.3. Приклади

36.4. Індекс особливої точки векторного поля

36.5. Теорема про суму індексів

36.6. Сума індексів особливих точок на сфері

36.7. Обґрунтування

36.8. Многовимірний випадок

6. Додаток

37. Програма іспиту

38. Зразки екзаменаційних завдань

7. Література

39. Монографії, огляди, підручники

8. Видатні вчені

40. Видатні вчені

9. Підтримка

41. Потрібна